Suites numériques

[Hanaconda]

Bonsoir,

J'ai une série d'exercices à faire, j'ai résolu un bon nombre d'exos, mais arrivée au dernier, j'ai été bloquée. Le voici:

1) Prouver que : il existe un x qui appartient à (R-Z)/ ( x+1/x) appartient à Z. ( trouvé)
2) On considère la suite numérique (Un) définie par : quelque soit n appartenant à N ; Un= x^n + 1/(x^n)
x étant un élément de (R-Z) tel que ( x+1/x) appartient à Z
Montrer que : quelque soit n de N ; Un appartient à Z.

Merci de bien vouloir me prêter un coup de tête!
Bonne fin de soirée.

[Ben314]

Salut,
Il y a plusieurs méthodes, mais l'une des plus simples est sans doute une preuve par récurrence (double) :
Montre que c'est vrai pour n=0 ainsi que pour n=1 puis exprime en fonction de et .

Si tu ne vois pas quelle est la formule, je t'inciterais bien à choisir un x tel que l'énoncé le demande puis à calculer les 7 ou 8 premiers termes de la suite avec ce x là, histoire d'y voir plus clair...

[Hanaconda]

Je n'ai pas encore vu la récu. double..comment faut-il procéder? ou y'a-t-il d'autre manière pour le résoudre ( récurrence classique, peut être?) ?
Merci bien.

[Lostounet]

Je n'ai pas encore vu la récu. double..comment faut-il procéder? ou y'a-t-il d'autre manière pour le résoudre ( récurrence classique, peut être?) ?
Merci bien.

Salut,

Comment exprimerais-tu (x^2+1/x^2) en fonction de (x+1/x) ?

Et (x+1/x)^3 en fonction de (x^3+1/x^3) et un autre élément?

[Hanaconda]

Bonsoir,

x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2 ?

[Ben314]

Je n'ai pas encore vu la récu. double..comment faut-il procéder? ou y'a-t-il d'autre manière pour le résoudre ( récurrence classique, peut être?) ?
Merci bien.

Quel x as tu choisi pour faire tes essais ?
Ca donne quoi les 7 ou 8 premiers termes ?

[Hanaconda]

J'ai choisi x = (3-V5)/2 et ai trouvé les termes suivants :
U1 = 3 ; U2 = 7 ; U3 = 18 ; U4= 47 ; U5=123
Mais honnêtement, je n'arrive pas à les corréler..
EDIT : Apparemment, ils appartiennent tous à Z.

[Ben314]

Avec ton x, les premiers termes de la suite sont :
2 ; 3 ; 7 ; 18 ; 47 ; 123 ; 322 ; 843 ; 2 207 ; 5 778 ; 15 127 ; 39 603 ; 103 682 ; 271 443 ; 710 647 ; 1 860 498 ; . . .
Ça donne quoi si on regarde le triple d'un terme moins le suivant ?

[Hanaconda]

Ah oui! U(n+1) = 3Un - U(n-1)
Je peux m'en servir pour la récurrence?

[Ben314]

Ah oui! U(n+1) = 3Un - U(n-1)
Je peux m'en servir pour la récurrence?

Oui, bien sûr.
Mais :
a) Il faudrait démontrer qu'effectivement U(n+1) = 3Un - U(n-1) pour tout entier n (et pas uniquement "l'intuiter")
b) Là, c'est uniquement le cas où x=(3-racine(5))/2 : il faudrait aussi regarder le cas général (avant ou après le a))

[chan79]

salut
Ce qui peut venir à l'idée, c'est de faire le produit