[Terminale S] Suites numériques

[LordHorus]

Bonjour j'ai un DM à faire pour lundi, j'ai quasiment fait la totalité mais je bloque sur deux questions qui sont par rapport à la première mais je ne m'en rappelle plus et je n'arrive plus à le retrouver du coup je vous le montre. Ce sont deux questions assez simples pour un connaisseur.

On considère la fonction f définie sur ]-inf.; -4]U[-4; +inf.[ par f(x) = (3x+2)/(x+4)

1) Etudier les variations de f sur chacun des intervalles de son ensemble de définition (j'ai trouvé que c'était toujours constant mais ma justification est simplement un tableau de signes avec en bas les variations) et en déduire que pour tout x élément de ]-2; 1[, f(x) appartient à ]-2; 1[ (cette partie je n'y arrive pas du tout).

On considère la suite (Un) définie par récurrence : {U0 = -1,5
{Un+1 = (3Un + 2)/Un +4)

2) Montrez que si Un appartient à ]-2; 1[, alors Un+1 appartient à ]-2; 1[. (C'est le même genre de question quoi).

Cordialement, LordHorus.

[Manny06]

Bonjour j'ai un DM à faire pour lundi, j'ai quasiment fait la totalité mais je bloque sur deux questions qui sont par rapport à la première mais je ne m'en rappelle plus et je n'arrive plus à le retrouver du coup je vous le montre. Ce sont deux questions assez simples pour un connaisseur.

On considère la fonction f définie sur ]-inf.; -4]U[-4; +inf.[ par f(x) = (3x+2)/(x+4)

1) Etudier les variations de f sur chacun des intervalles de son ensemble de définition (j'ai trouvé que c'était toujours constant mais ma justification est simplement un tableau de signes avec en bas les variations) et en déduire que pour tout x élément de ]-2; 1[, f(x) appartient à ]-2; 1[ (cette partie je n'y arrive pas du tout).

On considère la suite (Un) définie par récurrence : {U0 = -1,5
{Un+1 = (3Un + 2)/Un +4)

2) Montrez que si Un appartient à ]-2; 1[, alors Un+1 appartient à ]-2; 1[. (C'est le même genre de question quoi).

Cordialement, LordHorus.

qu'as tu trouvé pour sens de variation de f sur chacun des deux intervalles ?

[LordHorus]

Croissant dans les deux cas

[Manny06]

Croissant dans les deux cas

donc si -2<x<1 f(-2)<f(x)<f(1)
peux tu en déduire le résultat demandé ?

[LordHorus]

J'ai déjà fait la 1ère question grâce à de l'aide sur un autre forum pour au final obtenir ça ^^ :

1ère partie = On cherchera d'abord la dérivée de la fonction f(x).
f(x) = (3x + 2) / (x + 4)
f'(x) = (u/v);) = (u;)v uv;)) / v² où u = 3x + 2 et v = x + 4 et donc u' = 3 et v' = 1
f'(x) = (3 * (x + 4) - (3x + 2) * 1) / (x + 4)²
f'(x) = (3x + 12 - 3x - 2) / (x + 4)²
f'(x) = 10 / (x + 4)²

2ème partie = La fonction f:[;)2;1];)R est strictement croissante car elle est dérivable et sa dérivée est strictement positive.

Soit x appartient à ];)2;1[. On a 2<x<1.

Comme f est strictement croissante sur [;)2;1], on en déduit que f(-2)<f(x)<f(1).

f(-2) = (3*(-2)+2)/((-2)+4) = (-6+2)/(2) = -2
f(1) = (3*1+2)/(1+4) = (3+2)/5 = 5/5 = 1