Suites:notion de limite

[prada17]

Salut à tous,
j'ai un exercice qui me pose bien des problèmes,voici l'énnoncé:

l'extremité du balancier d'une horloge décrit un arc de longueur de 10 cm et cette longueur diminue de 0,01% à chque oscillation.
quelle est la longueur totale parcourue par cette extrémité jusqu'à l'arrêt complet du balancier?

D'apres moi une oscillation correspond a un aller donc il faut faire 10cm-0,01%=9,999 apres 10cm-0,01%*0,01%=9,999999 et ainsi de suite...
suis je sur la bonne voie?

merci de votre aide

[Huppasacee]

Bonsoir

La voie est bonne, mais il faut modéliser chaque oscillation

L'oscillation d'origine est Io = 10
La première oscillation amortie est I1 = 10*0,9999
La suivante est I2 = 10*0,9999²
Que te semble-t-il quant à la suite In ?

[prada17]

la suite In me semble être 10*0,9999^n.
Est ce cela?

[uztop]

oui, c'est ça

[prada17]

donc c'est la somme d'une suite de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q=0,9999?

[uztop]

exactement, raison = 0,9999 et premier terme = 10

[prada17]

donc ça donne:
Un=U1*1-q^n/1-q
Un=10*1-(0,9999)^n/1-0,9999
Un=10* 1-(0,9999)^n/1.10-4

et là je suis bloquée je ne sais plus comment faire!

[prada17]

je ne sais pas si mon cal cul est bon,pouvez vous m'aidez sil vous plait?

[uztop]

bonjour,
excuse moi, j'avais pas vu ton message.
En fait, ce que tu veux calculer, c'est la limite quand n tend vers l'infini (le balancier s'arrête complètement au bout d'une infinité d'oscillations). Ca te simplifie les choses vu que 0,9999^n tend vers 0 quand n tend vers l'infini

[prada17]

oui mais je dois faire le calcul,et je voulais savoir si mon calcul était bon?
merci pour ton aide uztop!

[prada17]

donc en fait la limite de Un quand n tend vers l'infini c'est 10?

[Laurent_m]

C'est pas Un qui vaut 10* 1-(0,9999)^n/1.10-4 mais Sn (c'est la somme des termes de la suite). Tu trouves vers quoi ça tend en l'infini

[Laurent_m]

Et la réponse de la distance totale n'est pas 10 cm puisque c'est la distance parcourue pour une seule oscillation; c'est beaucoup plus; suffit de trouver la limite, et de vérifier que c'est cohérent

[prada17]

Quand j'ai fais mon calcul la fin je me retrouve avec Un=10* (1-(0,9999)^n)/(1-0,9999) et c'est là que je suis bloquée je ne sais pas comment faire pour la fin?

[Laurent_m]

Somme des termes jusquà n : (1-(0,9999)^n)/(1-0,9999)
et ensuite tu calcules la limite:
en sachant que -1 < 0,9999 < 1 donc (0,9999)^n tend vers 0

[prada17]

Justement je ne comprends pas comment calculer ma limite?

[Laurent_m]

La limite que tu cherches c'est la limite de la somme des termes de la suite de raison 0,9999,
cette somme étant 10*(1-(0,9999)^n)/(1-0,9999) pour les n premiers termes;
or, lim(0,9999)^n=0.
Qu'est-ce que tu ne comprends pas?

[Laurent_m]

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[Laurent_m]

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[prada17]

ah donc ma limite c'est 0,9999^n qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini?