On considère la suite (Zn) de nombres complexes définie par:
Z0= 2
Zn+1=
1) Calculer Z1, Z2, Z3 et Z4
2) On considère le programme ci dessous:
from math import sqrt
def suite(n) :
z=complex(2,0)
for k in range (1,n+1) :
z=z*complex(sqrt(3)/2,-1/2)
r=abs(z)
return r
a) Expliquer ce que renvoie la fonction suite.
b) Voici quelques résultats de la fonction suite:
suite(1) = 2
suite(3) = 1,9999999999996
suite(8) = 1,999999999999
Que peut-on conjecturer?
c) Démontrer ou invalider la conjecture précédente.
3) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a:
arg(Zn) =
4) Démontrer que pour tout entier naturel k, Z(6k+3) est un imaginaire pur.
L’énoncé est assez long, je m’en excuse.
1) Aucun problème
2a) Je suppose que la fonction renvoie le module de Zn
2b) Là je ne comprends pas trop, car quand je calcule z3 ou z8 je trouve des modules strictement égaux à 2, mais je pense qu’on peut conjecturer que pour tout entier naturel n, IznI = 2
2c) Je ne sais pas du tout quoi faire à partir d’ici, j’ai essayé avec une récurrence mais je ne trouve pas de résultat probant…
Merci d’avance si vous pouvez m’apporter de l’aide
