Suites et logarithme

[x3scofield]

Bonjour, pourriez-vous m'aider ? Je suis bloquée sur un exercice.

Soit la suite U(n) définie pour tout n > ou = à 1 par :
U(n+1) = 2;)U(n)
U(1) = 1

On définit pour tout n > ou = à 1, la suite V(n) par :
V(n) = ln(u(n)) - ln4


1) Démontrer que V(n) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le 1er terme V(1).
2) En déduire que U(n) est une suite croissante.
3) Calculer lim(V(n)) et en déduire lim(U(n))
4) Exprimer Vn en fonction de n; en dduite U(10) sous la forme 2^r.

J'ai déjà répondu à la question 1 et je trouve que V(n+1) = 1/2 x V(n); soit q= 1/2. Mais je suis bloquée pour la question 2, j'avais commencé en disant que
V(n) = ln (Un/4) et comme q appartient à ]-1;1], la suite converge vers 0, elle est donc décroissante ... ?
Merci d'avance pour votre aide.

[sporock]

la question 2 n' est pas tres dur
Comment fais tu pour montrer qu' une suite est croissante ou decroissante ??

[JPzarb]

Salut,
Tout d'abord, tu as bien donné la raison de la suite (1/2) mais tu as oublié le premier terme V(1).
C'est une bonne chose d'écrire
Vn=ln(Un/4)

Car dans ce cas, il vient tout de suite que
Un=4 exp(Vn)
et que donc si Vn est croissante, alors Un aussi.
Or, si Vn tend vers 0, elle n'est pas pour autant décroissante !!
exemple :
-(1/2)^n tend vers 0, mais si j'écrit la suite j'ai :
-1/2 < -1/4 < -1/8 < -1/16 ... -->0

Il faut dire : Vn tend vers 0, mais comme le premier terme est négatif (V(1) = -ln(4)) alors Vn est CROISSANTE et donc Un est aussi croissante.

A bientôt

[x3scofield]

Salut, merci d'avoir pris le temps de me répondre.
J'ai bien compris pour la question 2 maintenant. En effet j'avais oublié de mentionné que V1 = -ln4.

Pour la limite de Vn, il faut donc calculer la limite en 1 et en +infnini.
* lim en +infini :
lim (Un/4) = + inf
Donc si on pose Y=(Un/4)
lim Vn = lim ln(Y) quand Y -> +inf = +inf

*lim en 1 :
lim (2/4) quand n tend vers 1 = 1/2
Si on pose Y=1/2, lim (Vn) quand n -> +inf = lim (lnY) quand Y -> (1/2) = ln(1/2)

Puis pour lim(Un) on se sert du fait que Un=4e(Vn), c'est bien ça ?

[JPzarb]

Re,

Premièrement, je ne comprend pas pourquoi tu cherche un limite en 1 ??
Une suite n'a de limite possible qu'en +infini, de part la définition même d'une limite.
En 1, soit la suite existe et a une valeur, soit elle n'existe pas.

Ensuite,
Pour la limite de Vn :
Vn est une suite géométrique de raison -1
Pour la limite de Un,
on a :
lim Vn = 0
=> lim Vn + ln(4) = ln(4)
=> lim ln(Un) = ln(4)
Comme exp est continue et strictement croissante sur R+*, on peut donc en conclure
lim exp(ln(Un)) = exp(ln(4))
=> lim Un = 4

A bientot

[x3scofield]

J'ai cherché à calculé la limite en 1 car Vn est définie pour tout n > ou = à 1.
Oui c'est bête je l'avais déjà démontré... !
Mais là je ne comprends pas d'où vient
"=> lim Vn + ln(4) = ln(4)" ?

[JPzarb]

Bonjour, quelle est la limite de (Vn)?

Même chose ^^
de plus ... A moins que je ne me trompe, pour tout A, 0 + A = A

[x3scofield]

C'est 0 car la suite converge en 0.

[JPzarb]

J'ai cherché à calculé la limite en 1 car Vn est définie pour tout n > ou = à 1.

Et alors ? Justement, si Vn est définie pour n>ou=1, Vn est définie en 1 (d'ailleurs, tu avais aussi déjà calculé V1). Je reste formel, un SUITE n'a de limite éventuelle QUE en +infini.

[x3scofield]

Oui biensûr mais c'est pas ça que je comprends pas, c'est comment on vient à faire le calcul "lim Vn + ln(4) = ln(4)".
Après pour le développement j'ai compris :)

[JPzarb]

C'est 0 car la suite converge en 0.

Oui. Donc si lim Vn = 0
lim (Vn + ln(4) ) = ?

Pour développer complétement :
lim (Vn + ln(4) ) = lim (Vn) + ln(4) = ?

[x3scofield]

lim (Vn + ln(4) ) = ?

= 0 + ln4
= ln 4

Ok pour la limite en 1 !

[JPzarb]

Maintenant ca devrait être bon :)

[x3scofield]

Oui car en fait :
v(n) = ln(Un) - ln4
ln(Un) = Vn + ln4
lim (ln Un) = lim (Vn + ln 4)
lim (ln Un) = 0 + ln 4
= ln 4.
Ok donc là c'est bon merci ! Je vais réfléchir pour la dernière question. :)

[x3scofield]

Mmh je vois pas trop pour exprimer Vn, on a :
Vn = ln(e(Vn)) si on remplace Un par 4e(Vn), mais ça ne mènerait à rien de dire ça...
On a aussi de la question 2°/ V(n+1) = Vn/2, mais ça a déjà été démontré.
Un petit indice svp ? :hein:

[x3scofield]

Ah et, en calculant moi-même V2, V3.. on retrouve que Vn = ln(Un) - ln4, donc ça ne m'avance pas plus.

[JPzarb]

Regarde dans ton cours :
Si tu as une suite géométrique de raison q (tu connais la raison de Vn) et de premier terme V1 ( tu connais V1),
Comment s'exprime cette suite ?

De deux manières :

Soit V(n+1) = q*Vn en précisant V1
Soit Vn = ... (en fonction de n)

C'est écrit forcément quelque part dans ton livre. Retiens cette expression des suites géométriques, elle est importante.

A bientot

[x3scofield]

Oui merci je n'y avais pas pensé, donc je trouve que Vn = 2-0,5^n.
Ensuite Un = 4e(Vn)
Un = 4e(2-0,5^n)
Soit U10 = 4e(2-0,5^10)
Bon déjà là il y a un problème car à la calculatrice ça ne me donne pas le résultat que je devrais avoir. Et je pense qu'il vaut mieux calculer d'abord U9 et exprimer U10 en fonction de racine de U9 puisqu'il faut mettre le résultat sous la forme 2^r non ?

[JPzarb]

Oui merci je n'y avais pas pensé, donc je trouve que Vn = 2-0,5^n.

Il ne me semble pas que cela ressemble à une suite géométrique Oo...

Vn=V1 * q^n
V1=ln(U1)-ln(4)=-ln(4)

Donc

Vn = -ln(4) * (1/2)^n

Ah... Ca ca ressemble à une suite géométrique...

Ensuite...

Vn = ln(un)-ln(4) = -ln(4) (1/2)^n

D'où

ln(Un) = -ln(4) * ((1/2)^n + 1)
Un = exp (...) = ... (je te laisse continuer)

Un petit conseil, essaye d'utiliser ceci : exp(b*ln(a)) = a^b ...

Encore un petit effort et tu y es ^^

Courage