Suites interdépendantes

[kity]

Bonjour,

J'ai un dm de maths à faire et je bloque sur une question d'un exercice.
Voici le sujet:
On définit les suites (an) et (bn) sur N* par a1=2 b1=1 et, pour tout entier naturel n non nul, an+1 = 1/3 * (2an + bn) et bn+1= 1/3 * (an + 2bn).

1) On pose Un = an + bn.
Démontrer que la suite (Un) est une suite constante.

J'ai réussi à faire cette question, à la fin j'ai trouvé Un+1 = Un avec an+1 + bn+1 = an + bn.

2) En déduire bn, puis an+1 en fonction de an.

Etant donné que Un est constante et que nous avons a1 et b1, j'ai trouvé les égalités suivantes:
Un = 3 donc bn = 3 - an
an+1 = 1/3 * (an + 3) = (an + 3)/3

3) On pose : Vn = an - 3/2. Prouver que (Vn) est géométrique.

C'est sur cette question là que j'ai un problème, même si elle paraît pourtant très simple.
J'ai fait: Vn+1 = an+1 - 3/2
Vn+1 = (an + 3)/3 - 3/2
Vn+1 = (2an + 6 - 9)/6
Vn+1 = (2an - 3)/6
Ce n'est pas une suite géométrique donc j'aimerais savoir où j'ai bien pu me tromper parce que du coup ça m'empêche aussi de faire la question suivante.

4) Déterminer Vn, puis an et bn en fonction de n.
En déduire les limites des suites (an) et (bn).


J'espère que quelqu'un pourra m'aider, merci d'avance.

[Sve@r]

C'est sur cette question là que j'ai un problème, même si elle paraît pourtant très simple.
J'ai fait: Vn+1 = an+1 - 3/2
Vn+1 = (an + 3)/3 - 3/2
Vn+1 = (2an + 6 - 9)/6
Vn+1 = (2an - 3)/6
Ce n'est pas une suite géométrique donc j'aimerais savoir où j'ai bien pu me tromper parce que du coup ça m'empêche aussi de faire la question suivante.

Tu ne t'es pas trompée. Vn+1=(2an - 3) / 6 = an/3 - 1/2

Toutefois tu n'es pas allée assez loin. On te dit que Vn est une suite géométrique. Donc Vn+1=q * Vn
Donc donc donc q = 1/3 donc Vn suite géométrique de raison 1/3...

[kity]

Merci de votre réponse.
Et donc le premier terme de la suite sera :
1/3 * (2a1 - 3)/2 = 1/6 c'est ça ?

[Sve@r]

Merci de votre réponse.
Et donc le premier terme de la suite sera :
1/3 * (2a1 - 3)/2 = 1/6 c'est ça ?

Non. Et je suis déçu de voir ça vu que t'as si bien réussi le reste...

Là t'as écrit (2a1 - 3) / 6 ce qui correspond à V(1+1) donc V2 !!!

Tu veux V1 alors tu divises V2 par 1/3... ou alors tu vas au plus simple: V1=A1 - 3/2 !!!

[kity]

Ah oui c'est vrai, désolé, ça doit être la fatigue qui me fait faire n'importe quoi ^^
Donc on a pour premier terme V1 = 1/2 ?

En utilisant ce premier terme, pour la 4) je trouve Vn = 1/2 * (1/3)^n. puis an = 1/2 * (1/3)^n + 3/2 car an = Vn + 3/2
et enfin, bn = 3 - (1/2 * (1/3)^n + 3/2) car bn = 3 - an.
C'est juste ?

[Sve@r]

Ah oui c'est vrai, désolé, ça doit être la fatigue qui me fait faire n'importe quoi ^^
Donc on a pour premier terme V1 = 1/2 ?

Ben oui. Et tu remarques qu'en divisant ton V2 par 1/3 on obtient le même résultat.

En utilisant ce premier terme, pour la 4) je trouve Vn = 1/2 * (1/3)^n. puis an = 1/2 * (1/3)^n + 3/2 car an = Vn + 3/2
et enfin, bn = 3 - (1/2 * (1/3)^n + 3/2) car bn = 3 - an.
C'est juste ?

Ben là il n'y a plus de difficulté et je te sens d'un niveau assez bon pour éviter de venir demander l'évidence. an=Vn + 3/2 donc
Et bn=3 - an = 3 - (1/2 * (1/3)^n + 3/2). Toutefois, tu pourrais quand-même réduire cette dernière expression...