Suites et intégrales

[Sulaheia]

Bonjour bonjour,

J'ai l'exercice suivant :
Soit définie pour par :

1 - Démontrer que pour tout :

2 - En déduire que

3 - En déduire le comportement asymptotique de

Voici ce que j'en ai fait, avec mes questions en gras :
1/ : on veut montrer que

Ok, mais j'ai utilisé le fait que x>ln(x) - j'ai le droit d'affirmer ça en TS ?

2/ - Ok, c'est la somme des petites intégrales (je me comprends ).

3/ , ça tend vers l'infini, donc la suite aussi par comparaison. C'est tout ? Le "comportement asymptotique", c'est juste la limite ?

Merci !

[cailloux1]

Bonjour,

1) Pour tout ,

et on intègre sur

3) or

Avec les théorèmes de comparaison:

et oui: on a le "comportement asymptotique" de

[Lostounet]

3/ , ça tend vers l'infini, donc la suite aussi par comparaison. C'est tout ? Le "comportement asymptotique", c'est juste la limite ?

Merci !

Salut,
En fait le comportement asymptotique désigne non seulement la limite mais aussi "comme quoi se comporte la quantité".

La morale de cet exercice est le fait "surprenant" suivant. Informellement:
S = 1+1/2+1/4+..... vaut + infini. Malgré le fait d'ajouter des quantités de plus en plus petites! C'est étonnant non?

Et l'exercice te propose en plus de montrer que cette somme tend vers +infini au même rythme que ln(n) (donc lentement mais..surement).

La technique utilisée s'appelle "comparaison série intégrale" ou monotonie intégrale. Il faut absolument faire une figure si tu ne vois pas la question 1) c'est assez intuitif.

[Sulaheia]

@lostounet - On peut parler de courbe asymptote en terminale ? Ou on dit informellement que ça se rapproche de telle ou telle fonction ?

Pour la question 1, @cailloux1 et @lostounet : mais carrément ! J'ai bien fait de vous poser la question, merci beaucoup !!! En fait j'avais oublié ce que c'était une intégrale .
(c'est marrant, hier j'ai lu vos réponses et je voyais pas du tout de quoi vous vouliez me parler - j'ai bien fait d'attendre un peu pour répondre)

Mais quand même (même si j'en ai pas besoin ici) : j'ai le droit d'affirmer sans le démontrer que x>ln(x) ?

[Lostounet]

Hey,

Il suffit de poser pour x>0 f(x)=x-ln(x) et l'étudier !
Généralement l'inégalité de concavité est ln(x)<=x-1

Moi ça me gêne pas de parler d'asymptote en terminale (voire de branche parabolique). mais bon..