Suites homologues, auxiliaires ?

[Number2]

Bonjour, voilà un exercice sur les suites, qui englobent, en gros, tous les théorèmes.. J'ai du mal à avancer à cause de qques questions : Voici l'énoncé :

U(n) définie par : U(0) = 0 et U(n+1) = f(U(n)) où f(x) = (2x+2)/(x+3).
Dans les premières questions, on a démontré que pour tout x de [0 ; 1] , f(x) appartient à [0 ; 1] (moi je trouve [2/3 ; 1] mais bon, c'est l'énoncé...). On a aussi montrer que pour tout n de [0 ; 1] , U(n) appartient à [0 ; 1] et enfin en développant U(n+1)-U(n) on a montré que cette diffèrence était positive et que la suite était croissante. Jusque là tout va bien..

Mais comment montrer que U(n) converge ? (c'est la question "montrer que la suite U(n) est convergente"). Je me dis que je dois utiliser le théorème des suites monotones : si U(n) est croissante et majorée alors U(n) est convergente. Mais comment trouver le majorant ? Depuis quelle formulation de U(n) dois-je partir ou faut-il que je trouve une autre expression de U(n) ? Faut-il raisonner par récurrence avec lim (quand n tend vers 1) Un = 1. A-t-on lim (quand n tend vers infini ) Un = 1 ?

Et enfin, comment démontrer que L (limite de la suite U(n) vérifie L=f(L) ? Et en déduire sa valeur. (en vue de cette question ma dernière proposition pour la question précédente tombe à l'eau...)

Merci d'avance et bonne soirée à tous. ET c'est bientôt Noël !! :D (Oui, HS, je le sais.. :( )

[didou31]

Ton majorant, tu l'as déjà. Et même un minorant.

[el niala]

(moi je trouve [2/3 ; 1] mais bon, c'est l'énoncé...)

justement, ton intervalle est compris dans celui de l'énoncé, combien vaut Uo ? et donc où se trouve f(Uo) ? et donc f(f(Uo) ? etc

d'où un majorant évident...

[Number2]

Vu comment vous le dites , je suppose que c' assez évident mais je ne vois vraiment pas.. Le majorant c' surement 1 et le minorant 0 mais si vous pouviez m'expliquer un peu plus...

Oui mais mon intercalle est plus raccorci que celui de l'énoncé donc j'ai surement faux puisque ds mon intervalle f n'atteint jamais 0...

[el niala]

tu ne vois pas que dans l'intervalle [0,1] la suite se comporte comme sa focntion associée ?

si tu préfères, évoque une récurrence, Uo est dans l'intervalle [0,1] donc U1=f(Uo) aussi
suppose l'HR vraie à l'ordre n, où va se trouver U(n+1) ?

et donc ne peux-tu pas conclure à l'existence d'un majorant ?

[Number2]

tu ne vois pas que dans l'intervalle [0,1] la suite se comporte comme sa focntion associée ?

si tu préfères, évoque une récurrence, Uo est dans l'intervalle [0,1] donc U1=f(Uo) aussi
suppose l'HR vraie à l'ordre n, où va se trouver U(n+1) ?

et donc ne peux-tu pas conclure à l'existence d'un majorant ?

f(U(n+1)) ? et donc on en conclut qu'il se comporte comme sa fonction associée qui a pour limite 2 ? Mais si je détermine directement la limite, à quoi sert la question suivante ? Puisque, justement c' ds celle-ci qu'il faut déterminer la VALEUR de cette limite ?

[el niala]

on a démontré que pour tout x de [0 ; 1] , f(x) appartient à [0 ; 1]

qui te parle de la limite de f en ?

comme U(n) par HR est sur [0,1], alors U(n+1)=f(U(n)) y est aussi, tout simplement !