Suites géométriques

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Aylita42
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Suites géométriques

par Aylita42 » 16 Aoû 2018, 01:11

Bonsoir à tous,

J'ai une question à propos des suites géometriques, voici l'énoncé :

Le jour de la naissance de Jérôme, son père a placé 1500 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%. Cette année Jérôme a 16 ans et rentre en classe de première S. Il souhaite s'acheter un scooter qui coûte 2300 euros. Peut-il le faire?

Voici la solution de l'exercice :

On note U0 = 1500 et Un le capital acquis par Jérôme après n années.

Le capital acquis la (n +1)e année est :

Un+1 = Un + 0,025 * Un
Soit
Un+1 = 1,025 * Un

On reconnaît dans cette écriture une suite géométrique de raison q = 1,025

(Au fait U0 c'est U d'indice 0 et Un+1 c'est U indice n+1 car j'ai pas pu les écrire en indice.)

Voilà je n'ai pas compris cette partie de la solution et comment on a obtenu 1,025 qui est la raison à partir de Un + 0,025 * Un

J'aimerais bien une réponse plutôt détaillée car l'année scolaire n'a pas encore commencé donc je n'ai pas d'enseignant auprès de qui me renseigner.

Merci d'avance !



FLBP
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Re: Suites géométriques

par FLBP » 16 Aoû 2018, 03:08

Salut,
Je pense que la réponse à ta question est dans la mise en évidence:

Et donc la raison :

Et donc :

Je ne sais pas si cela répond à ta question

SAGE63
Membre Relatif
Messages: 498
Enregistré le: 29 Nov 2014, 13:45

Re: Suites géométriques

par SAGE63 » 17 Aoû 2018, 20:00

Bonjour à tous

I - ANALYSE DES ELEMENTS FOURNIS PAR L'ENONCE

A) CALCUL D'UN PLACEMENT FINANCIER A INTERETS COMPOSES

Cela signifie :

a) que chaque année on calcule les intérets sur le capital en début d'année
b) qu'à la fin de chaque année les intérêts sont "capitalisés" au capital pour produire de intérêts à leur tour l'année suivante

B) FINANCEMENT DU SCOOTER

Au bout de 16 ans le capital placé pourra-t-il financier un scooter don de prix d'acquisition est de 2 300 euros.

II - UNE PREMIERE SOLUTION : CAPITAL PLACE ANNEE par ANNEE

ANNEE 1 :

En début d'année le capital placé est de 1500,000 euros
Le montant des intérêts est de 1 500,000 * 2,50 % = 37,500 euros
Quand Jérome a 1 an le capital placé est de 1 500,000 + 37,500 = 1 537,500 euros

ANNEE 2 :

En début d'année le capital placé est de 1537,500 euros
Le montant des intérêts est de 1 537,500 * 2,50 % = 38,438 euros
Quand Jérome a 2 ans le capital placé est de 1 537,500 + 38,438 = 1 575,938 euros

ANNEE 3 :

En début d'année le capital placé est de 1575,938 euros
Le montant des intérêts est de 1 575,938 * 2,50 % = 39,398 euros
Quand Jérome a 3 ans le capital placé est de 1 575,938 + 39,398 = 1 615,336 euros

ANNEE 4 :

En début d'année le capital placé est de 1615,336 euros
Le montant des intérêts est de 1 615,336 * 2,50 % = 40,383 euros
Quand Jérome a 4 ans le capital placé est de 1 615,336 + 40,383 = 1 655,719 euros

ANNEE 5 :

En début d'année le capital placé est de 1655,719 euros
Le montant des intérêts est de 1 655,719 * 2,50 % = 41,393 euros
Quand Jérome a 5 ans le capital placé est de 1 655,719 + 41,393 = 1 697,112 euros

ANNEE 6 :

En début d'année le capital placé est de 1697,112 euros
Le montant des intérêts est de 1 697,112 * 2,50 % = 42,428 euros
Quand Jérome a 6 ans le capital placé est de 1 697,112 + 42,428 = 1 739,540 euros

ANNEE 7 :

En début d'année le capital placé est de 1739,540 euros
Le montant des intérêts est de 1 739,540 * 2,50 % = 43,489 euros
Quand Jérome a 7 ans le capital placé est de 1 739,540 + 43,489 = 1 783,029 euros

ANNEE 8 :

En début d'année le capital placé est de 1783,029 euros
Le montant des intérêts est de 1 783,029 * 2,50 % = 44,576 euros
Quand Jérome a 8 ans le capital placé est de 1 783,029 + 44,576 = 1 827,604 euros

ANNEE 9 :

En début d'année le capital placé est de 1827,604 euros
Le montant des intérêts est de 1 827,604 * 2,50 % = 45,690 euros
Quand Jérome a 9 ans le capital placé est de 1 827,604 + 45,690 = 1 873,294 euros

ANNEE 10 :

En début d'année le capital placé est de 1873,294 euros
Le montant des intérêts est de 1 873,294 * 2,50 % = 46,832 euros
Quand Jérome a 10 ans le capital placé est de 1 873,294 + 46,832 = 1 920,127 euros

ANNEE 11 :

En début d'année le capital placé est de 1920,127 euros
Le montant des intérêts est de 1 920,127 * 2,50 % = 48,003 euros
Quand Jérome a 11 ans le capital placé est de 1 920,127 + 48,003 = 1 968,130 euros

ANNEE 12 :

En début d'année le capital placé est de 1968,130 euros
Le montant des intérêts est de 1 968,130 * 2,50 % = 49,203 euros
Quand Jérome a 12 ans le capital placé est de 1 968,130 + 49,203 = 2 017,333 euros

ANNEE 13 :

En début d'année le capital placé est de 2017,333 euros
Le montant des intérêts est de 2 017,333 * 2,50 % = 50,433 euros
Quand Jérome a 13 ans le capital placé est de 2 017,333 + 50,433 = 2 067,767 euros

ANNEE 14 :

En début d'année le capital placé est de 2067,767 euros
Le montant des intérêts est de 2 067,767 * 2,50 % = 51,694 euros
Quand Jérome a 14 ans le capital placé est de 2 067,767 + 51,694 = 2 119,461 euros

ANNEE 15 :

En début d'année le capital placé est de 2119,461 euros
Le montant des intérêts est de 2 119,461 * 2,50 % = 52,987 euros
Quand Jérome a 15 ans le capital placé est de 2 119,461 + 52,987 = 2 172,447 euros

ANNEE 16 :

En début d'année le capital placé est de 2172,447 euros
Le montant des intérêts est de 2 172,447 * 2,50 % = 54,311 euros
Quand Jérome a 16 ans le capital placé est de 2 172,447 + 54,311 = 2 226,758 euros

Jérome ne pourra pas acheter son scooter le jour de son 16 ème anniversaire……dommage

III - LE SECONDE METHODE MATHEMATIQUE (savante)

A) Dans la méthode des intérêts composés, le capital placé chaque année est en PROGESSION GEOMETRIQUE

B) Les élèments de cette progrsssion géométrique sont les suivants :

a) capital de départ : 1 500,00 euros

b) raison q = (1 + taux d'intérêt exprimé pour 1 euro)

Le taux d'intérêt annuel est de 2,5 % soit 0,025 pour 1 euro
d'où :
q = 1 + 0,025 = 1,025

c) le nombre de période, ici, les années est de 16 ans

C) Calcul (rapide) du capital placé au bout de 16 ans


C = 1 500,00 * 1,025 ¹⁶
C = 1 500,00 * 1,484505621
C= 2 226,758

Le capital acquis au bout de 16 ans est de 2 226,758 euros.
Jérome ne pourra pas acheter son scooter le jour de son 16 ème anniversaire……dommage

IV - ET POUR ALLER PLUS LOIN………………

Mais….. Il pourrait demander au fournisseur une réduction du prix pour paiement comptant.

a) quelle serait le montant en euros de cette remise pour paiement comptant ?

b) quel pourcentage du prix d'achat représente la dite remise pour paiement comptant ?

 

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