Suites géométriques, limites. Exos de DM

[r0soe]

Bonjour,
J'ai un exercice sur lequel je tourne un peu en rond, j'aimerai savoir si quelqu'un pourrai m'aider ^^ :help:

Voici l'énoncé :

Soit la suite numérique u(n) (n>1) définie par u1= 1/2 et u(n+1)= 2/5u(n) + 1/5
1) Soit A appartient a R, on considère la suite v(n) ( n>1 ) définie par
v(n)= u(n)- A

a) Exprimer v(n+1) en fonction de v(n)
b) Trouver un réel A tel que v(n) soit une suite géométrique. Exprimer alors v(n) et u(n) en fonction de n

voilà, le reste de l'exercice me semble plutôt facile mais je bute surtout sur "trouver A" , je trouve à chaque fois une réponse différente ou rien du tout car tout s'annule !

merci d'avance si quelqu'un peut venir à mon aide :we:

[Quidam]

J'ai un exercice sur lequel je tourne un peu en rond, j'aimerai savoir si quelqu'un pourrai m'aider

Facile ! La réponse est oui, quelqu'un pourrait t'aider !

mais je bute surtout sur "trouver A" , je trouve à chaque fois une réponse différente ou rien du tout car tout s'annule

Eh bien, montre-nous ce que tu as fait ; on va essayer de trouver la faute !

[rene38]

Bonjour

Tu as
Que trouves-tu pour ?

[r0soe]

Je trouve V(n+1) = u(n+1) -A
= 2/5 u(n) + 1/5 - A
= 2/5( v(n) + A ) + 1/5 - A
= 2/5 v(n) - 3/5A + 1/5

voila pour v(n+1)
mais pour A, j'ai calculer v2 ( en fonction de A ) et u2 pour utiliser la formule v(n)= u(n)-A
mais je trouve des trucs bizarres; genre 2/5 donc ça veut dire que v2 est égal à 0 etc...

[rene38]

Je trouve V(n+1) = u(n+1) -A
= 2/5 u(n) + 1/5 - A
= 2/5( v(n) + A ) + 1/5 - A
= 2/5 v(n) - 3/5A + 1/5

Réponse exacte pour la question a).
Maintenant, on veut que (Vn) soit une suite géométrique c'est à dire que quel que soit n (n>1), ...
Tu vas alors trouver la valeur de A puis Vn en fonction de n (et de V1 qu'il faut calculer) puis Un en fonction de n

[r0soe]

ah oui ! merci beaucoup
je n'avais pas pensé à utiliser simplement la définition d'une suite géométrique donc je me perdais un peu dans mes calculs

J'aurai encore une petite question :we:
on demande la limite de v(n) et u(n)
donc v(n) = v(1) x 1/3^n
= 1/6 x 1/3^n
= 1/(3^(n+1)x2)
et u(n)= v(n) + A
= 1/(3^(n+1)x2) + (1/3)

pas de problème pour v(n) puisque c'est un suite géométriquede raison A = 1/3 donc v(n) converge vers 0 il me semble
et lim(u(n)) = 0+1/3 = 1/3

enfin pas de soucis pour ça mais par contre, on demande ensuite d'exprimer la somme des termes de u(n) en fonction de n
Sn= n;)u(k) ( k=1 )
et vu que u(n) n'est ni une suite géométrique, ni une suite numérique ( ou plutot un peu des deux ) je sais pas comment calculer la somme des termes ou quelle est la formule!
est-ce possible de combiner la formule pour la somme des termes d'une suite géométrique puis ensuite de faire celle de la somme des termes d'une suite arithmétique ?

merci encore pour votre aide !

[rene38]

pas de problème pour v(n) puisque c'est un suite géométriquede raison A = 1/3

Non, la raison de (Vn) n'est pas A. Reprends à partir de tes résultats précédents :

V(n+1) = 2/5 v(n) - 3/5A + 1/5 et A = 1/3 donc V(n+1) = ... et donc la raison de (Vn) est ...

Quant à la somme, tu peux te servir de la somme des Vn (suite géométrique)
et de l'égalité Un = Vn + 1/3 pour tout n>=1

[Sanji1991]

:we: Bonjour,
J'ai aussi le même exercice mais je ne comprends pas quelque chose... :triste:
Je ne comprends pas votre démarche lorsqu'il faut trouver A. Pourriez-vous m'expliquer s'il-vous-plaît?
Il me semble qu'il faut utiliser la propiété: v(n+1) = q*u(n)

ou alors v(n)= v(1)*q^n.
Voilà, à partir de là je bloque car je commence à partir de la relation:
v(n+1)= 2/5 v(n) - (3/5) A + (1/5)
Peut-être que je me trompe sur la propriété à utiliser?
Merci de bien vouloir m'éclairer.
bye! :we:

[Sanji1991]

je reviens sur ce que j'ai écrit car j'ai fait une faut de frappe.
v(n+1) = q*v(n)
c'est tout et merci encore.
bye! :we:

[Sanji1991]

Après quelques heures de reflexion, j'ai réussi à comprendre l'exercice.
Merci bien.
bonne soirée à vous