Ts: Suites et fonctions

[Anonyme]

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +oo[ par
f(x) = 1/2 (2/x + x)

1.a. Etudier les variations de f
1.b. Déterminer les limites de f en 0 et en +oo, et montrer que la
courbe représentative de f admet une Asymptote Oblique delta.
1.c. Représenter graphiquement la courbe représentative de f, la droite
delata, et la droite D d'équation y = x.
Préciser les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec la
droite D.

On définit la suite (Un) par U0 = 1
U(n+1) = f(Un)

2.a. Représenter les premiers termes de la suite sur le dessin de la
question 1.c.
2.b. Conjecturer alors le comportement de (Un) ; sens de variation et
limite.

3.a. Calculer U1, U2, U3, U4 sous forme fractionnaire.

3.b. Montrer que pour tout n >0 : sqrt.(2) =< U(n+1) =< Un =< 3/2
Que peut-on en déduire ?

4.a. Montrer que pour tout n >0 : |Un - sqrt.(2)| =< 1/2 (U(n-1) -
sqrt.(2))²

4.b. Vérifier que |U0 - sqrt.(2)| < 1/2

En déduire que pour tout n >= 0,:
|Un - sqrt.(2)| =< (1/2)^(2^(n+1) -1)

4.c. En déduire la limite de Un.

5. A l'aide d'une calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel
que (0.5)^(2^(n+1) -1) < 10^(-100).
En déduire que U8 ~ sqrt.(2) à 10^(-100) près.


"sqrt." pour racine de ...
"A.O." pour asymptote oblique



1.a.
f'(x) = -1/x² + 1/2
f'(x) = 0
=> x = sqrt.(2)

Sur ]0 ; sqrt.(2)[, f'(x) est négatif, donc f(x) est décroissante
Sur ]sqrt.(2) ; +oo[, f'(x) est positif, donc f(x) est croissante

f(sqrt.(2)) = sqrt.(2)

1.b.
lim f(x) = +oo
x-> +oo

lim f(x) = +oo
x-> 0


On a regarder le probème à plusieurs, et on coince un peu sur l'A.O.
On a fait ça:

on sait qu'une asymptote oblique, c'est y=ax+b
On fait f(x) - (ax+b)
ça fait 1/x + 1/2 x -ax -b
b = 0
1/x + x/2 - ax = 0
=> a = 1/2

Donc l'A.O. a pour équation:
y = x/2

Pour le point d'intersction:
y = x
y = f(x)
On cherche le point d'intersection, donc f(x) = x

1/2 (2/x + x) = x
2/x + x = 2x
x² - 2x² + 2 = 0
-x² + 2 = 0
x = sqrt.(2) ou -sqrt.(2)
(-sqrt.(2) est impossible)

Comme y = x
le Pt. d'intersection a pour coordonnées
(sqrt.(2) ; sqrt.(2))


2.a.
Représentation des points:
U0 : (1 ; 1)
U1 : (3/2 ; 17/12)
U2 : (17/12 ; 477/408)
etc...

2.b.
Puisque U(n+1) = f(Un), on peut conjecturer qu'elle est décroissante,
puis croissante et que sa limite en +oo est égale à +oo

(Sur la conjecture, on ne sait pas si elle est réelement croissante.
Donc la conjecture est-elle correcte, ou est-ce qu'on doit simplement
dire qu'elle est décroissante ?)


3.a.
U1 = 3/2
U2 = 17/12
U3 = 577/408
U4 = 665857/470832


3.b. Une question qui pose quelques problèmes.
Voilà ce qu'on s'est proposé:

Initialisation:
U1 = 3/2
U2 = 17/12
donc on a bien:
V2 =< U2 =< U1 =< 3/2

H.R:
On suppose que pour tout n >0, on a sqrt.(2)=< U(n+1) =< Un =< 3/2

Hérédité:
On montre que pour tout n >0 on a sqrt.(2) =< U(n+2) =< U(n+1) =< 3/2


On a pensé à ça:
Très simplement, on peut dire, puisque la fonction f est positive et
croisante à partir de sqrt.(2), que:
f(sqrt.(2))=< f(U(n+1)) =< f(Un) =< f(3/2)

f(sqrt.(2)) = sqrt.(2)
f(U(n+1)) = U(n+2)
f(Un) = U(n+1)
f(3/2) = 1.41...

Donc on a:
sqrt.(2) =< U(n+2) =< U(n+1) =< 1.41... < 3/2

Donc :
sqrt.(2) =< U(n+2) =< U(n+1) =< 3/2

On peut en déduire que la suite est bornée par sqrt.(2) et 3/2 et
qu'elle est décroissante (puisque U(n+1) < Un)


4.a.
On est parti de là:

Initialisation:

|U1 - sqrt.(2)| = 0.0857...
1/2(U0 - sqrt.(2))² = 0.0857...

On a 1/2(U0 - sqrt.(2))² = |U1 - sqrt.(2)|
Donc l'hypthèse est vérifiée.

H.R:
On suppose que pour tout n >0, |Un - sqrt.(2)| =< 1/2 (U(n-1) - sqrt.(2))²

Hérédité:
On montre que |U(n+1) - sqrt.(2)| =< 1/2 (Un - sqrt.(2))²


Mais on est coincé.
On commence:
D'après H.R, on a:
|Un - sqrt.(2)| =< 1/2 (U(n-1) - sqrt.(2))²

Mais on ne sait pas très bien comment démarrer.


4.b.
|1 - sqrt.(2)| = 0.4142...
1/2 = 0.5

Donc on a bien |U0 - sqrt.(2)| < 1/2


Pour la déduction, c'est encore une récurrence:

Initialisation:
|U0 - sqrt.(2)| = 0.4142...
(1/2)^(2-1) = 0.5

Donc l'hypothèse est vérifiée

H.R:
On suppose que pour tout n >0 :
|Un - sqrt.(2)| =< (1/2)^(2^(n+1) -1)

Hérédité:
On montre que pour tout n >0:
|U(n+1) - sqrt.(2)| =< (1/2)^(2^(n+2) -1)


Pour le moment, on a admis que la question 4.a. était faite.
Donc, on sait que:
|Un - sqrt.(2)| =< 1/2 (U(n-1) - sqrt.(2))²

Et que:
|U0 - sqrt.(2)| < 1/2

Mais on est aussi coincé là...



Merci d'avance :).

[Anonyme]

Alexandre a écrit :
> On considère la fonction f définie sur ]0 ; +oo[ par
> f(x) = 1/2 (2/x + x)
>
> 1.a. Etudier les variations de f
> 1.b. Déterminer les limites de f en 0 et en +oo, et montrer que la
> courbe représentative de f admet une Asymptote Oblique delta.
> 1.c. Représenter graphiquement la courbe représentative de f, la droite
> delata, et la droite D d'équation y = x.
> Préciser les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec la
> droite D.
>
> On définit la suite (Un) par U0 = 1
> U(n+1) = f(Un)
>
> 2.a. Représenter les premiers termes de la suite sur le dessin de la
> question 1.c.
> 2.b. Conjecturer alors le comportement de (Un) ; sens de variation et
> limite.
>
> 3.a. Calculer U1, U2, U3, U4 sous forme fractionnaire.
>
> 3.b. Montrer que pour tout n >0 : sqrt.(2) = Que peut-on en déduire ?
>
> 4.a. Montrer que pour tout n >0 : |Un - sqrt.(2)| = sqrt.(2))²
>
> 4.b. Vérifier que |U0 - sqrt.(2)|
> En déduire que pour tout n >= 0,:
> |Un - sqrt.(2)| =
> 4.c. En déduire la limite de Un.
>
> 5. A l'aide d'une calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel
> que (0.5)^(2^(n+1) -1) En déduire que U8 ~ sqrt.(2) à 10^(-100) près.
>
>
> "sqrt." pour racine de ...
> "A.O." pour asymptote oblique
>
>
>
> 1.a.
> f'(x) = -1/x² + 1/2
> f'(x) = 0
> => x = sqrt.(2)
>
> Sur ]0 ; sqrt.(2)[, f'(x) est négatif, donc f(x) est décroissante
> Sur ]sqrt.(2) ; +oo[, f'(x) est positif, donc f(x) est croissante

Résolvez plutôt f'(x)>0 plutôt que f'(x)=0. Sinon, d'où sort votre
conclusion ?
>
> f(sqrt.(2)) = sqrt.(2)
>
> 1.b.
> lim f(x) = +oo
> x-> +oo
>
> lim f(x) = +oo
> x-> 0
>
>
> On a regarder le probème à plusieurs, et on coince un peu sur l'A.O.
> On a fait ça:
>
> on sait qu'une asymptote oblique, c'est y=ax+b
> On fait f(x) - (ax+b)
> ça fait 1/x + 1/2 x -ax -b
> b = 0
> 1/x + x/2 - ax = 0
> => a = 1/2
>
> Donc l'A.O. a pour équation:
> y = x/2
>
oui

> Pour le point d'intersction:
> y = x
> y = f(x)
> On cherche le point d'intersection, donc f(x) = x
>
> 1/2 (2/x + x) = x
> 2/x + x = 2x
> x² - 2x² + 2 = 0
> -x² + 2 = 0
> x = sqrt.(2) ou -sqrt.(2)
> (-sqrt.(2) est impossible)
>
à vérifier graphiquement...
> Comme y = x
> le Pt. d'intersection a pour coordonnées
> (sqrt.(2) ; sqrt.(2))
>
>
> 2.a.
> Représentation des points:
> U0 : (1 ; 1)
> U1 : (3/2 ; 17/12)
> U2 : (17/12 ; 477/408)
> etc...
les Un doivent être placés sur l'axe des abscisses sinon
>
> 2.b.
> Puisque U(n+1) = f(Un), on peut conjecturer qu'elle est décroissante,
> puis croissante et que sa limite en +oo est égale à +oo
>
> (Sur la conjecture, on ne sait pas si elle est réelement croissante.
> Donc la conjecture est-elle correcte, ou est-ce qu'on doit simplement
> dire qu'elle est décroissante ?)
>
si l'on en juge par vos valeurs, la suite semble être décroissante et se
stabilise à une certaine valeur...

> 3.a.
> U1 = 3/2
> U2 = 17/12
> U3 = 577/408
> U4 = 665857/470832
>
>
> 3.b. Une question qui pose quelques problèmes.
> Voilà ce qu'on s'est proposé:
>
> Initialisation:
> U1 = 3/2
> U2 = 17/12
> donc on a bien:
> V2 =
> H.R:
> On suppose que pour tout n >0, on a sqrt.(2)=
> Hérédité:
> On montre que pour tout n >0 on a sqrt.(2) =
"on montre qu'alors sqrt.(2) =
> On a pensé à ça:
> Très simplement, on peut dire, puisque la fonction f est positive et
> croisante à partir de sqrt.(2), que:
> f(sqrt.(2))=
> f(sqrt.(2)) = sqrt.(2)
> f(U(n+1)) = U(n+2)
> f(Un) = U(n+1)
> f(3/2) = 1.41...
>
> Donc on a:
> sqrt.(2) =
> Donc :
> sqrt.(2) =
> On peut en déduire que la suite est bornée par sqrt.(2) et 3/2 et
> qu'elle est décroissante (puisque U(n+1) [/color]
ça me parait juste
>
> 4.a.
> On est parti de là:
>
> Initialisation:
>
> |U1 - sqrt.(2)| = 0.0857...
> 1/2(U0 - sqrt.(2))² = 0.0857...
>
> On a 1/2(U0 - sqrt.(2))² = |U1 - sqrt.(2)|
= ou à peu près = ? Il faudrait être plus précis (travailler en valeur
exacte)
> Donc l'hypthèse est vérifiée.
>
> H.R:
> On suppose que pour tout n >0, |Un - sqrt.(2)| =
idem qu'au 3°
> Hérédité:
> On montre que |U(n+1) - sqrt.(2)| =
>
> Mais on est coincé.
> On commence:
> D'après H.R, on a:
> |Un - sqrt.(2)| =
> Mais on ne sait pas très bien comment démarrer.
Apparemment, on peut se passer de récurrence :
écrivez U(n+1)-sqrt(2) en fonction de Un en utilisant la fonction f,
vous pourrez faire apparaitre le 1/2 (Un - sqrt.(2))²
je vous laisse chercher...

>
>
> 4.b.
> |1 - sqrt.(2)| = 0.4142...
> 1/2 = 0.5
>
> Donc on a bien |U0 - sqrt.(2)|
>
> Pour la déduction, c'est encore une récurrence:
>
> Initialisation:
> |U0 - sqrt.(2)| = 0.4142...
> (1/2)^(2-1) = 0.5
>
> Donc l'hypothèse est vérifiée
>
> H.R:
> On suppose que pour tout n >0 :
> |Un - sqrt.(2)| =
> Hérédité:
> On montre que pour tout n >0:
> |U(n+1) - sqrt.(2)| =
>
> Pour le moment, on a admis que la question 4.a. était faite.
> Donc, on sait que:
> |Un - sqrt.(2)| =
Ecrivez cette relation au rang n+1 et utilisez l'HR
> Et que:
> |U0 - sqrt.(2)|
> Mais on est aussi coincé là...
>
>
>
> Merci d'avance .

[Anonyme]

Alexandre a formulé ce samedi :

> 1.a. Etudier les variations de f

cf Yves.

> 1.b. Déterminer les limites de f en 0 et en +oo, et montrer que la courbe
> représentative de f admet une Asymptote Oblique delta.

> lim f(x) = +oo
> x-> +oo
>
> lim f(x) = +oo
> x-> 0

Ok.

> On a regarder le probème à plusieurs, et on coince un peu sur l'A.O.
> On a fait ça:
>
> on sait qu'une asymptote oblique, c'est y=ax+b
> On fait f(x) - (ax+b)
> ça fait 1/x + 1/2 x -ax -b
> b = 0
> 1/x + x/2 - ax = 0
> => a = 1/2
>
> Donc l'A.O. a pour équation:
> y = x/2

Il faut commencer par préciser au voisinage de quel point on fait cette
étude.
Ok pour l'équation.

> 1.c. Représenter graphiquement la courbe représentative de f, la droite
> delata, et la droite D d'équation y = x.
> Préciser les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec la droite
> D.

> Pour le point d'intersction:
> y = x
> y = f(x)
> On cherche le point d'intersection, donc f(x) = x
>
> 1/2 (2/x + x) = x
> 2/x + x = 2x
> x² - 2x² + 2 = 0
> -x² + 2 = 0
> x = sqrt.(2) ou -sqrt.(2)
> (-sqrt.(2) est impossible)
>
> Comme y = x
> le Pt. d'intersection a pour coordonnées
> (sqrt.(2) ; sqrt.(2))

Il n'est pas nécessaire de refaire ce calcul car, à la première
question, tu avais déjà dit que f(sqrt(2)) = sqrt(2)

Par contre, l'énoncé nous dit "*le* point d'intersection", et cette
unicité mérite d'être justifiée.
Pour x = f(sqrt(2)) = sqrt(2) car f est décroissante
sur ]0,sqrt(2)]
donc f(x) > x (et inégalité stricte => différent).
Sur [sqrt(2),infty[, il faut faire un calcul qui ressemble à ce que
t'as fait mais avec des inégalités, avec des équivalences successives,
en partant de
f(x) à toi de finir...

> On définit la suite (Un) par U0 = 1
> U(n+1) = f(Un)
>
> 2.a. Représenter les premiers termes de la suite sur le dessin de la question
> 1.c.

> 2.a.
> Représentation des points:
> U0 : (1 ; 1)
> U1 : (3/2 ; 17/12)
> U2 : (17/12 ; 477/408)
> etc...

Non, il ne faut pas faire ces calculs.
Il faut trouver une méthode un peu plus "géométrique", tout en sachant
qu'on demande d'utiliser le même graphique qu'en 1.c), graphique sur
lequel on a tracé non seulement la courbe représentative de f, mais
aussi autre chose...

> 2.b. Conjecturer alors le comportement de (Un) ; sens de variation et limite.

> Puisque U(n+1) = f(Un), on peut conjecturer qu'elle est décroissante, puis
> croissante et que sa limite en +oo est égale à +oo

Oui... de plus, f est dérivable, donc la suite (u_n) est dérivable
Bon plus sérieusement, ce n'est pas parce que f est croissante ou
décroissante que la suite (u_n) va être croissante ou décroissante.
Idem pour la limite.
Pour répondre à cette question, il faut conjecturer à partir du dessin.
La limite va être un point bien particulier dont on a parlé dans les
questions qui précèdent.

> 3.b. Montrer que pour tout n >0 : sqrt.(2) = Que peut-on en déduire ?

> 3.b. Une question qui pose quelques problèmes.
> Voilà ce qu'on s'est proposé:
>
> Initialisation:
> U1 = 3/2
> U2 = 17/12
> donc on a bien:
> V2 =
> H.R:
> On suppose que pour tout n >0, on a sqrt.(2)=
> Hérédité:
> On montre que pour tout n >0 on a sqrt.(2) = On a pensé à ça:
> Très simplement, on peut dire, puisque la fonction f est positive et
> croisante à partir de sqrt.(2), que:
> f(sqrt.(2))= f(sqrt.(2)) = sqrt.(2)
> f(U(n+1)) = U(n+2)
> f(Un) = U(n+1)
> f(3/2) = 1.41...
>
> Donc on a:
> sqrt.(2) =

f(3/2) = Donc :
> sqrt.(2) =
> On peut en déduire que la suite est bornée par sqrt.(2) et 3/2 et qu'elle est
> décroissante (puisque U(n+1) < Un)[/color]

Oui.
Et que peut-on dire d'une suite décroissante et bornée ? Quelque chose
qui devrait confirmer une partie de la conjecture.

Je n'ai pas encore réfléchi à la suite.