Suites et Factorielles ( Terminale S )

[samos38]

Bonjour tout le monde

Je suis en Terminale S

Je bloque sur plusieurs questions de 2 exercices :

1 er exercice :

1)

a) et b) Etude de la fonction ...

c) Prouver que pour tout n de N , l'équation 2^x + x = n admet une unique solution dans R que l'on notera Un.

donc pour cette question j'utilise le Théoreme de la Bijection pour montrer qu'il n'y a qu'une seule solution et je dis que je l'apelle Un

2) a)

Prouver que la suite de terme général Un est strictement croissante

Alors cette question je n'y arrive pas car je n'arrive pas a trouver l'expression de Un car je n'ai jamais étudier des expressions du genre 2^x + x = n , je ne sais pas comment faire .

b) Prouver que la suite (Un) ne peut avoir de limite finie et ne peut être majorée.Conclure

Cette question je n'ai pas réussi a la faire non plus car elle s'enchaine mais meme en connaissant l'expression je ne vois pas comment je pourrais faire .

1) f(x)=e^(-x)*(1 + x/1! + x²/2! .... + x^n / n! )

a) Vérifier pour k dans N et k > ou = à 2 :

x --> x^k / k! a pour dérivée x --> x^(k-1) /(k-1)!

Je n'y arrive pas car je sais pas comment dériver une factorielle . En regardant comme ca le résultat on dirait que la factorielle est égale à sa dérivée.Mais ca ne colle pas avec la suite :

b) Prouver que pour tout x de [0;1] , f'(x)= - e^(-x)*( x^n / n! )

je n'y arrive pas aussi j'ai essayé mais je n'arrive pas a l'expression demandée

Voila pour le reste j'ai réussi à le résoudre :)

Merci d'avance pour votre précieuse aide :briques:

[Quidam]

2) a)

Prouver que la suite de terme général Un est strictement croissante

Alors cette question je n'y arrive pas car je n'arrive pas a trouver l'expression de Un car je n'ai jamais étudier des expressions du genre 2^x + x = n , je ne sais pas comment faire .

Je suppose que tu as préalablement démontré que 2^x+x était strictement croissante dans la première question.
Dès lors, si et , il est impossible que car alors , ce qui est faux. Il en résulte que [TEX] \Large U_n ou = à 2 :

x --> x^k / k! a pour dérivée x --> x^(k-1) /(k-1)!

Je n'y arrive pas car je sais pas comment dériver une factorielle .
[/quote]
Dériver k! par rapport à x est facile : k! est une constante, sa dérivée est nulle !

[samos38]

Merci pour ton aide Quidam :)


Pour l'exercice 1 j'ai bien compris le raisonnement par l'absurde que tu as donné et la question suivante est :

b) Prouver que la suite (Un) ne peut pas avoir de limite finie et ne peut pas être majorée.Conclure . je n'y arrive pas

Alors on sait que :

(Un) est croissante

f est croissante ( f(x)= 2^x +x )

lim f en + INF = + INF

lim f en - INF = - INF

l'équation 2^x + x = n n'a qu'une seule solution

Mais avec ca je n'arrive pas a prouver qu'elle ne peut avoir de limite finie et qu'elle ne peut etre majorée je n'ai pas d'idées , je ne sais pas par quoi commencer ?

Je croit que la conclusion et que la suite tend vers + l'infini car elle est croissante et n'est pas majorée .

Merci d'avance pour votre précieuse aide

[Quidam]

Considère la fonction . Sa dérivée est , qui est positive dès l'instant que x>0. C'est une fonction croissante sur . Comme g(0)=1, elle g(x) toujours positif sur .

Il en résulte que . Or

Considère maintenant la suite définie par I Il est clair que . En effet :



Finalement, comme f est croissante,

Si tu peux démontrer que , tu es sauvé... Et ça c'est facile !

[samos38]

Merci Quidam

je sais que :



donc en transposant tout ca on a :

n dans N

par composition on trouve que lim Vn est + l'infini

Si tu peux démontrer que , tu es sauvé... Et ça c'est facile !

donc la je viens de prouver que

donc par comparaison ( minoration meme je crois )

Donc la par un raisonnement par l'absurde je peux montré que (Un) ne peut pas être majorée.

Mais je ne vois pas comment prouver que (Un) ne peut pas avoir de limite finie

A moins que le fait que ca limite soit + l'infini se traduise par le fait qu'il n'ai pas de limite finie et dans ce cas :

la conclusion serait que la suite Un est divergente ? mais on vient de le prouver avant en disant que sa limite est + l'infini ?

[Quidam]

Donc la par un raisonnement par l'absurde je peux montré que (Un) ne peut pas être majorée.

Mais je ne vois pas comment prouver que (Un) ne peut pas avoir de limite finie

Une suite qui n'est pas majorée ne peut avoir de limite finie.
En effet, si une suite a une limite finie l alors il existe n0 tel que n>n0 entraîne |Un-l|<1, soit l-1 < Un < l+1
Cela montre que le plus grand des termes U0, U1,...Un0, l+1 est un majorant !

[Quidam]

b) Prouver que la suite (Un) ne peut avoir de limite finie et ne peut être majorée.Conclure

Si la suite ne peut avoir de limite finie, elle peut cependant être majorée. Mais si la suite n'est pas majorée, elle ne peut pas non plus avoir de limite finie. En d'autres termes, montrer que Un tend vers l'infini, c'est montrer qu'elle n'a pas de limite finie !

[samos38]

Ahhh ok :)

Eh bien merci beaucoup pour aide Quidam , des réponses supers rapides à toutes heures :)
Tu m'as vraiment beaucoup aidé et je t'en suis très reconnaissant :++: