Suites et étude de fonction

[algo1308]

Bonjour,
J'ai un exercice que je parviens pas à résoudre, pouvez vous m'aider svp?

Alors, j'ai une suite (Vn) géométrique de raison 1/6 et de premier terme V0=4.
J'ai donc, Vn= V0x q^n = 4x(1/6)^n
De plus, Vn = (Un-4)/(Un+1)
Je trouve alors que Un = (Vn+4)/(-Vn+1)
Cependant je dois ensuite trouver Un en fonction de n, donc Un=(4x(1/6)^n + 4)/(-4x(1/6)^n + (1/4)).
En factorisant par 4, j'obtiens Un= ((1/6)^n +1)/(-1x(1/6)^n+(1/4))

J'aimerais savoir tout d'abord si mon calcul est juste, si je peux le développer d'avantage ?
Enfin, si je ne peux pas développer plus, pouvez vous m'aider à trouver la limite de Un car je n'y parviens pas..

Merci beaucoup.

[C.Ret]

Bonjour,

Je trouve aussi que Un = (Vn+4)/(-Vn+1) mais je préfère l'exprimer sous la forme


Par contre, je crois qu'il n'y a pas d'erreur dans le calculde .

J'ai envisagé séparément le numératuer et de dénominateur de U_n et obtient donc une expression un peu diffèrente:


et


d'où


Pour les limites:
d'où

Par contre pour la limite en , il est plus facile de factoriser par :

Ce qui est bien l'expression donnée par algo1308


Or,
d'où
Ou de façon équivalente :

[algo1308]

Merci beaucoup, mais je ne comprend comment vous avez trouver Un car je suis d'accord que c'est Un = (Vn+4)/(-Vn+1), je suis d'accord pour le calcul du dénominateur et du numérateur séparément mais je ne comprend pas quand vous les avez rassemblé comment vous avez obtenu : Un= 4 * ((1+6^n)/(6^n-4))
De plus, quelle expression de Vn dois-je utiliser afin de trouver la limite de vn ?

[C.Ret]

En rassemblant le numérateur et dénominateur, je fais simplement disparaitre .

Concernant les formules à utiliser,cela dépent de la limite considérée.
Ma formule permet de calculer directemetn la limite pour n tendant vers -oo car dans ce cas s'annule et on voit apparaitre la valeur limite en -oo.

Par contre en , votre formule est plus efficace car les s'annulent ce qui laisse apparaitre la valeur limite en +oo.

[algo1308]

Ah d'accord j'ai compris merci !!!
Mais donc pour la limite de Un je suis d'accord. Par contre on me demande de calculer celle de Vn. Comment dois-je faire ? Je dois m'aider de Vn=4*1/6^n ou de Vn = (Un-4)/(Un+1).
Car si jutilise la premiere expression de Vn, j'ai lim 4* 1/6^n quand n tend vers plus ou moins l'infini je ne sais pas ce que ça vaut...

[algo1308]

Si je fais lim Vn quand n tend vers plus l'infini,
lim Vn = lim 4*1/6^n = 4*0 = 0 ????? On dirais que c'est faux

[C.Ret]

En fait non ce n'est pas faux, on peux utiliser directemetn l'expression de V_n ou utiliser les résultats obtenus pour U_n.
On obtient bien les mêmes résultats :

Si on considère :


Sachant que , on a

Si on considère :


Sachant que on a,

On peut faire de même pour la limite en -oo


Vérifons numériquement à la calculette :

Code: Tout sélectionner

n      Vn        Un
0    4.0000   -2.6667
1    0.6667   14.0000
2    0.1111    4.6250
3    0.0185    4.0943
4    0.0031    4.0155
5    0.0005    4.0026
6    0.0001    4.0004
7    0.0000    4.0001
8    0.0000    4.0000


On constate que la valeur limite est rapidement atteinte !

[algo1308]

D'accord merci beaucoup pour votre aide !!! :)
Mais je crois que je n'ai pas besoin de faire la limite en moins l'infini car en cours on a dit que pour les suites on ne fait la limite que en plus l'infini...
En tout cas merci beaucoup !! Bonne soirée

[Anonyme]

@C.Ret
Bravo pour tes explications
Ce message est juste pour réagir à ta conclusion aux tests que tu as simulé sur une calculatrice
pour éviter qu'ils ne soient mal interprétés...

Vérifons numériquement à la calculette :

Code: Tout sélectionner

n      Vn        Un
0    4.0000   -2.6667
1    0.6667   14.0000
2    0.1111    4.6250
3    0.0185    4.0943
4    0.0031    4.0155
5    0.0005    4.0026
6    0.0001    4.0004
7    0.0000    4.0001
8    0.0000    4.0000


On constate que la valeur limite est rapidement atteinte !

je tenais à préciser que


et que est l'affichage sur la calculatrice de

Info supplémentaires :
Pour les suites convergentes , on peut étudier la vitesse de convergence de ces suites et on peut les classifier sous 3 catégories
1) suites dont la convergence est lente ( exemple )
2) suites dont la convergence est linéaire (exemple avec |q| 1 )

Commentaire surprenant
la suite est la plus LENTE des SUITES RAPIDES

A+