Suites et divisibilité spé math TS [répondu]

[zePGM]

j'ai un DM pour demain, j'ai tout fait sauf cette question qui est la 2° partie d'un exo.

soit Un tel que: Un=1+3+3²+...+3^(n-1)
n entier naturel superieur ou egal a 2

1) montrer que Un est divisible par 7 alors 3^(n)-1 est divisible par 7

2) reciproquement montrer que si 3^(n)-1 est divisible par 7 alors Un est divisible par 7.
en déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.

le bouquin met pour la reciproque: theoreme de gauss (que je n'ai pas vu en cours...)

je calcule S de Un et je trouve S=(3^(n)-1)/2--> permet de demontrer le 1)
mais je ne sais pas si cette méthode est valable.

merci d'éclairer ma lanterne :jap:

[lapras]

Salut,
(3^n - 1) / 2 est un nombre entier
si 7 divise Un, alors 7 divise (3^n-1)/2
donc 3^n-1 = 7*(2k)
7 divise donc 3^n-1
si 3^n-1 divisible par 7, alors :
3^n-1 = 7k
alors 2Un = 7k
comme 7 premier avec 2
alors 7 divise necessairement Un

[zePGM]

merci :id:

je vais editer le titre

tet bonne chance pour le th de fermat :ptdr: :ptdr: