PROBLEME:
L'objet de ce problème est détudier deux suites qui ont la même limite, mais dont les vitesses de convergence sont différentes.
A. Soit u la suite définie par Un= (1 + 1/n)n pour tout entier naturel n non nul.
1/ Justifier, que pour tout réel x, ex1+x
2/ En déduire que, pour tout réel x strictement inférieur à 1, ex(1/(1-x))
3/ Soit n un entier naturel non nul
a. Déduire de 1/ que 1+(1/n)e(1/n), puis que (1+(1/n))ne
b. Déduire de 2/ que e(1+(1/n))n+1
4/ Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, 0e-Un(e/n)
En déduire la limite de la suite u quand n tend vers +
5/ Déterminer un entier n0, tel que un0 soit une valeur approchée de e à 10-3 près. (utiliser le fait que, si n*, 0e-un(e/n)<(3/n) )
B. Soit v la suite définie par vn= 1+(1/h!) pour tout entier naturel n non nul.
I. Soit n un entier naturel non nul fixé
1/ Soi f la fonction définie sur [0;1] par f(x)= (1+(x/1!)+(x²/2!)+...+(xn/n!))e-x
a. Calculer f(0) et montrer que f(1)= vne-1
b. Montrer que, pour tout réel x de [0;1], f'(x)= -(xn/n!)e-x
c. Dresser le tableau de variation de f sur [0;1]; en déduire que vne
2/ Soit g la fonction définie sur [0;1] par g(x)=f(x)+(x/n!)
a. Calculer g'(x) et montrer que g est croissante sur [0;1]
b. En déduire que: e-(e/n!)vn
II. Ainsi, pour tout entier naturel non nul n, e-(e/n!)vn
1/ En déduire la limite de v quand n tend vers +
2/ Déterminer un entier n1, tel que vn1 soit une valeur approchée de e à 10-3 près
