Suites avec logarithme népérien

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Neptunefaitdesmaths
Membre Naturel
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Enregistré le: 12 Fév 2021, 12:29

Suites avec logarithme népérien

par Neptunefaitdesmaths » 26 Jan 2022, 20:40

Bonjour,

J'ai une suite définie par uo=1 et un+1=ln(un+1)

Il faut que je montre qu'elle est décroissante et minorée.

Or je n'arrive pas à simplifier un+1-un pour montrer cela.

Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance



LUCAS35
Messages: 5
Enregistré le: 22 Jan 2022, 18:40

Re: Suites avec logarithme népérien

par LUCAS35 » 26 Jan 2022, 21:08

Bonjour, j'ai compris que la formule était U(n+1)=ln(U(n)+1)

Montrer que U(n+1) - Un < 0 n'est pas la seule méthode pour montrer que la suite est décroissante,
On peut aussi montrer que le quotient U(n) / U(n+1) < 1

phyelec
Membre Rationnel
Messages: 793
Enregistré le: 06 Mar 2020, 18:47

Re: Suites avec logarithme népérien

par phyelec » 26 Jan 2022, 21:10

bonjour,

ce ne serait uo=1 et

Black Jack
Habitué(e)
Messages: 5349
Enregistré le: 31 Juil 2008, 11:17

Re: Suites avec logarithme népérien

par Black Jack » 26 Jan 2022, 21:40

Bonjour,

Si U(n) > 0, alors (U(n) + 1) > 1 et ln(U(n) + 1) > 0 --> U(n+1) > 0 (1)

Comme U(0) > 0, avec (1), tous les U(n) sont > 0
-----

U(n+1) - U(n) = ln(U(n) + 1) - U(n) avec U(n) > 0

soit f(x) = ln(x+1) - x avec x > 0

f'(x) = 1/(x+1) - 1
f'(x) = (1 - x - 1)/(x+1)
f'(x) = -x/(x+1)

et donc f'(x) < 0 et f est décroissante et le max de f(x) est lim(x--> 0+) f(x) = 0
--> f(x) < 0

f(U(n)) < 0

ln(U(n) + 1) - U(n) = U(n+1) - U(n) < 0 --> la suite U(n) est décroissante.

Mais on sait aussi que U(n) > 0 pour tout n de N et donc la suite U(n) est minorée par 0

La suite U(n) est décroissante et minorée (par 0) --> elle est convergente.

8-)

catamat
Membre Rationnel
Messages: 648
Enregistré le: 07 Mar 2021, 12:40

Re: Suites avec logarithme népérien

par catamat » 26 Jan 2022, 23:43

Bonjour

La décroissance peut aussi se montrer par récurrence sans difficulté

 

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