Suites + arithmétique....DM !

[schyschy]

Bonjours je me trouve confronté à un probleme de suites dont je n'arrive pas à résoudre les dernières questions en rapport avec l'arithmétique:

les suites d'entiers naturels (xn) et (yn) sont définies sur N par:
x0=3 et xn+1=2xn-1
y0=1 et yn+1=2yn+3

5°)-b
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, xn= 2^(n+1)+1

6°)a-j'y suis parvenu
b-xn et xn+1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n?

7°)démontrer que pour tout entier naturel n, 2xn-yn=5.
b-exprimer yn en fonction de n.
c-en utilisant les congruences modulo 5, éudier suivant les valeurs de l'entier narturel p le reste de la division euclidienne de 2^p par 5.
d-on note dn le pgcd de xn et yn pour tout entier naturel n.
Démontrer que l'on a dn=1 ou dn=5; en déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que xn et yn soient premiers entre eux.


Je vous en remercie beaucoup d'avance.... :++:

[becirj]

Bonjour
5.b) égalité vérifiée au rang 0
Supposons qu'à un rang n fixé
: l'égalité est vérifiée au rang (n+1), la propriété est héréditaire.

6.b) La relation de récurrence peut s'écrire D'après le théorème de Bézout et so,t premiers entre eux.

7a) Démonstration par récurrence :.
Supposons qu'à un rang n
. La propriété est bien héréditaire.

b)

c)
Soit p écrit sous la forme (4q+r) ;
Par conséquent : si
si



d) divise donc divise 5 ; il est donc égal à 1 ou à 5.
On cherche les valeurs de n pour lesquelles est divisible par 5 soit . D'après la question c) ceci est réalisé si et seulement si soit et dans ce cas est aussi divisible par 5 car
et sont donc premiers entre eux si

[schyschy]

Merci beaucoup!

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire comment trouver le PGCD((2^2003)+1;(2^2004)+1)? merci beaucoup


:we:

[becirj]

D'après le théorème de Bézout, les nombres et sont donc premiers entre eux.