Dm suite+trigo Term S.

[makesangsi]

Bonjour à tous,

Notre prof de math nous as donné un DM pour lundi prochain portant sur les suites et la preuve par récurrence. Mais, qui dit DM, dit exercice un peu plus difficile, et je me suis retrouvé mal quand j'ai vu que mon pire cauchemar s'est réalisé. Des cos dans des suites :doh:

Je viens donc vous demander un peu d'aide...

Voilà l'exo :

Théta(que j'abrege par a) réel de ]0;pi/2[
suite (Un) tel que U0=2cos(a) et U(n+1)=rac(2+Un)

1) Calculez U1 et U2 (indice : 1+cos2a = 2cos²a)

Pour U1, ça fait rac(2+2cos(a)) mais je n'arrive pas à y simplifier plus que ça... à quoi me sert l'indice.. un petit peu d'aide serait le bienvenue.

2)Prouvez par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>0, et déduisez en que pour tout n, Un est bien défini.

U1 > 0, donc Pn est vérifié.On suppose Un vraie. Pn+1: Un+1=rac(2+Un) or 2+Un > 0 et rac(2+Un)>0. Mais, comment je fais pour prouver que Un est bien définie ? je dis que Rac(x) est définie sur [0; +00[ et que donc c'est bien définie ?

3)Démontrez par récurrence que pour tout n de N, Un=2cos(a/2^n)

Alors, je vérifie U1, c'est bon, j'admets Un, et je cherche Un+1, et Un+1=rac(2+Un), et la je cherches à exprimer Un+1=Un+B, mais je pense que ça revient à la question 1...



Donc voilà tous, en espérant que vous pussiez m'aider ou me donner des pistes.

Merci beaucoup et bonne journée :we:

[johnjohnjohn]

Bonjour à tous,

Notre prof de math nous as donné un DM pour lundi prochain portant sur les suites et la preuve par récurrence. Mais, qui dit DM, dit exercice un peu plus difficile, et je me suis retrouvé mal quand j'ai vu que mon pire cauchemar s'est réalisé. Des cos dans des suites :doh:

Je viens donc vous demander un peu d'aide...

Voilà l'exo :

Théta(que j'abrege par a) réel de ]0;pi/2[
suite (Un) tel que U0=2cos(a) et U(n+1)=rac(2+Un)

1) Calculez U1 et U2 (indice : 1+cos2a = 2cos²a)

Pour U1, ça fait rac(2+2cos(a)) mais je n'arrive pas à y simplifier plus que ça... à quoi me sert l'indice.. un petit peu d'aide serait le bienvenue.

2)Prouvez par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>0, et déduisez en que pour tout n, Un est bien défini.

U1 > 0, donc Pn est vérifié.On suppose Un vraie. Pn+1: Un+1=rac(2+Un) or 2+Un > 0 et rac(2+Un)>0. Mais, comment je fais pour prouver que Un est bien définie ? je dis que Rac(x) est définie sur [0; +00[ et que donc c'est bien définie ?

3)Démontrez par récurrence que pour tout n de N, Un=2cos(a/2^n)

Alors, je vérifie U1, c'est bon, j'admets Un, et je cherche Un+1, et Un+1=rac(2+Un), et la je cherches à exprimer Un+1=Un+B, mais je pense que ça revient à la question 1...



Donc voilà tous, en espérant que vous pussiez m'aider ou me donner des pistes.

Merci beaucoup et bonne journée :we:

B1)

Si 1 + cos2a= 2cos²(a) alors 1 + cosa=2cos²(?)

B2)

Parfait. Tu as juste un peu de mal à conclure

Si Un>0 alors 2+Un> 0 or pour tout x>0 rac(x)>0 donc Un+1=rac(2+Un)>0. La propriété est vérifiée au rang n+1 et donc Un>0 est vrai. Par suite Un est définie car rac définie sur [0,+inf[

B3)

Un=2.cos ( a/2^n)

Un+1=rac ( 2 + 2.cos(a/2^n) )

Si tu te souviens que 1+cos2a=2cos²(a), tu tiens le bon bout

[Ericovitchi]

l'indice te sert que sous la racine il y a 2(1+cos a) et que l'on t'a dit que (en remplaçant a par a/2 dans la formule que l'on t'a donnée) et donc ça va donner

[makesangsi]

Merci beaucoup, il me manquait effectivement juste le début pour me débloquer.