Suite

[angel]

Bonjour, est ce que quelqu'un peut m'aider ,

Voici mon problème:

Un jardinier amteur tond sa pelouse tous les samedis, et recueille à chaque fois 120 litres de gazon coupé qu'il stocke dans un bac compost de 300 litres. Chaque semaine, les matières stockées perdent par décomposition, ou prélèvement, les trois quarts de leur volume.
On appele Vn le volume en litres stocké le n-ième samedi de tonte. Vérifier que l'on a:
V1=120, V2=150 et V3=157.5
1) Exprimer Vn+1 en fonction de Vn.
Cette suite est-elle géométrique ou arithmétique?

2)On définit, pour tout entier n> ou égal à 1, le nombre tn par tn=160-Vn
Démontrer que la suite (tn) est géométrique et préciser son premier terme et sa raison

3)Exprimer tn en fonction de n et en déduire le terme général de la suite (Vn)

4) Les conditions restant les mêmes, le bac de stockage sera t-il un jour rempli?

Merci beaucoup de m'aider. J'arrive à faire parfaitement les exercices qui sont l'application même du cours mais quand il s'agit d'un problème, je "nage".

Merci

[evilangelium]

Salut

1) chaque semaine, le jardin rempli son bac avec 120L
mais il reste de l'herbe décomposée restante des semaines dernières
il en reste 1/4

La première semaine, il le rempli de 120L soit V1 = 120
La deuxième semaine, il reste 1/4 de la semaine dernière et il ajoute 120L
soit V2 = 1/4 * 120 + 120 = 150
même raisonnement pour V3 = 1/4 * 150 + 120 = 157.5

pour le jour n+1 on a 1/4 de l'herbe du jour n auquel on ajoute 120L
soit Vn+1 = 1/4 * Vn + 120

c'est donc une suite arithmético-géométrique

2) en conjecturant la limité: Vn = Vn+1 <=> L = 1/4 * L + 120
on trouve L = 160
c'est pour cela qu'on pose une suite adjacente tn = 160 - Vn
étudions ses variations
tn+1 = 160 - Vn+1
= 160 - (1/4 * Vn + 120)
= 40 - 1/4 * Vn
= 1/4 * tn
tn est donc une suite géométrique de raison 1/4

3) on peut donc écrire tn = t0 * (1/4)^n = t1 * (1/4)^(n-1)
car n est différent de zéro
t1 = 160 - V1 = 160 - 120 = 40
tn = 40 * (1/4)^(n-1)
tn = 160 / 4^n

tn = 160 - Vn
Vn = 160 - tn
Vn = 160 - (160 / 4^n)

que l'on peut vérifier pour n=3,
V3 = 160 - 160 / 4^3 = 157.5

4) lim, n -> +inf, 160/4^n = 0
donc lim, n -> +inf, Vn = 160
le bac ne pourra pas être rempli avec ses conditions

;)

[anaël]

Bonjour qu'est ce que suite arithmetico-géometrique ?

Mon prof ne nous a jamais parlé de cela.

Merci de me répondre.