Suite

[Rachad96]

Bonjour, s'ils vous plaît aidez moi à résoudre cet exercice.Merci d'avance.
Exercice :
A0(0 en indice) et A1( 1 en indice) sont les points d'abscisses respectives x0=0 et x1=1 d'un axe. A2 le milieu du segment [A0A1] et x2 son abscisse;A3 est le milieu du segment [A2A1] et x3 son abscisse ;et le processus se poursuit indéfiniment.
1) Quelle est l'abscisse de Xn de An en fonction des abscisses de An-1 et An-2( n-1 et n-2 sont eux aussi en indices)?
2)On se propose de savoir , lorsque n est de plus en plus grand, si les points An s'accumulent autour d'un point unique et d'un seul. Pour cela posons n≥1 ,Yn = Xn –Xn-1.
a) Montrer que Yn est une suite géométrique.
b) Montrer que Sn=Y1+Y2+-------+Yn=Xn.
c) Determiner d'autres part Sn en utilisant le fait que (Yn) est une suite géométrique.
d) Déduire Xn explicitement en fonction de n.
e) Quelle est la limite de la suite Xn? Quelle conclusion faites vous?

Désolé je ne sais pas comment mettre les choses en indices mais j'espère que vous comprendrez l'énoncé. Mon plus grand problème c'est surtout la première question , au tout début je pensais que si A3 milieu du segment [A2A1] alors A4 serait milieu [A3A1] et A5 milieu de [A4A1] et ainsi de suite. Mais quelqu'un m'a fait comprendre que ce n'était pas comme ça. Et du coup je ne sais plus comment m'y prendre pour cette question.

[catamat]

Bonjour

A_4est le milieu de [A_2 A_3]

En fait chaque nouveau point est le milieu du segment formé par le dernieret l'avant-dernier point construits.

[Rachad96]

Donc A_4 aura comme abscisse X_4=1/8 ,
A_5 est milieu de [A_4 A_3] =>X_5=1/16
A_6 est milieu de [A_4 A_5] => X_6=1/32

[lyceen95]

Juste pour t'aider à taper tes messages ...

Pour obtenir
Tu tapes A_8, puis tu sélectionnes ce que tu viens de taper, et tu cliques sur le bouton 'tex'.
Ca ajoute 2 balises autour du texte à transformer.
Et ça fait que le 8 passe en indice
Et pour les exposants, ce serait A^8 , -->

[catamat]

Ok lycéen95 mais le latex fonctionne mal ces derniers temps, je n'ai donc pas mis les balises tex.

@ Rachad96 : Pour les valeurs des abscisses
on a x0=0, x1=1, x2=(x0+x1)/2=1/2
donc
x3=(x2+x1)/2=(1+1/2)/2=3/4

corriger la suite....

[Rachad96]

Ah d'accord.donc j'aurai:
X_4=5/8
X_5=11/16
X_6=21/32

[Rachad96]

Merci lycéen95 , j'ai compris.

[Rachad96]

Quelqu'un pourrait me répondre s'ils vous plaît

[catamat]

Oui c'est juste jusqu'à x_6.

[Rachad96]

Ainsi pour tout n≥2 on a : X_n=(X_n-1 +X_n-2)/2

[catamat]

Oui c'est bien cela

[Rachad96]

2)a Yn est une suite géométrique de raison q=-1/2 et de première terme
Y1=1

[catamat]

oui pas de soucis

[Rachad96]

2.b) en remplaçant on aura :
=–
=– et ainsi de suite.
Donc =– or X_0=0 => =.
3) Calculer Sn.
Sn=2/3[1–(-1/2)^n]
b) Sn=Xn=2/3[1–(–1/2)^n]
c)Limite de Xn
Lim Xn=2/3.
+00

Conclusion :Xn est une suite convergente.

[catamat]

Deux remarques
Donc Sn=Xn-X0
ceci doit être correctement justifié, par récurrence ou bien en sommant membre à membre n égalités

D'autre part la conclusion doit reprendre ceci :
"On se propose de savoir , lorsque n est de plus en plus grand, si les points An s'accumulent autour d'un point unique et d'un seul. "

[Rachad96]

Ah d'accord merci. Pour la démonstration par récurrence , j'ai un peu de mal à le faire à chaque fois ,il va falloir que vous m'aidiez.

Donc la conclusion devrait être comme ceci:
Oui ! lorsque n est de plus en plus grand ,les points An s'accumulent autour du point unique d'abscisse x=2/3

[catamat]

La conclusion est correcte.

Pour la récurrence il n'y a aucune difficulté ici.

Quelle hypothèse de récurrence prenez vous pour démontrer l'hérédité ?

[Rachad96]

Initialisation :
Vérifions que l'hypothèse est vrai au rang n=1.
==1 et =1 vrai.
Hérédité :
On suppose que si la propriété est vrai pour tout n≥1, Montrons que =
Don Sn+1=++----+
Voilà l'hypothèse est formé mais je n'arrive pas à le démontrer

[catamat]

Il faut ecrire Sn+1 en utilisant Sn

Ecris les tous les deux à côté l'un de l'autre et du devrais facilement voir la relation qui te permettra de conclure