Suite

[astral]

Bonjour!
Pour démontrer que la suite Un est croissante en sachant que U0 = 1/2 et U(n+1) = 3Un / 1+2Un donc je veux faire U(n+1) - Un ce qui me donne (3Un / 1+2Un) - Un = [3Un - (Un (1+2Un))] / 1+2Un que je développe ensuite mais je ne sais pas comment m’en sortir par la suite... Merci!

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop l'intérêt d'un tel exo.
On t'a jamais appris qu'un nombre divisé par 1, ça donne le nombre lui même ?
Donc là, 3Un / 1+2Un = 3Un+2Un = 5 Un et ta suite est géométrique de raison 5 : Un = U0*5^n = 1/2* 5^n.

[pascal16]

avec des parenthèses, c'est mieux
U0 = 1/2 et U(n+1) = 3Un / (1+2Un )
de façon évidente Un est toujours strictement positif

U(n+1) - Un ce qui me donne
(3Un / 1+2Un) - Un
= [3Un - (Un (1+2Un))] /( 1+2Un )
= [3Un - Un - 2Un²] /( 1+2Un )
= [Un - 2Un²] /( 1+2Un )
= Un (1- 2Un) /( 1+2Un )
est du même signe que 1- 2Un

donc, n'as-tu déjà démontré que Un>1/2 ?

[pascal16]

c'est 1-Un, pas 2-Un

[astral]

Merci de vos réponses! Désolée, je n’avais pas pensé à des parenthèses à cet endroit... 3Un - Un = 2Un non? Car je ne comprend pas d’où proviens le Un à la troisième ligne dans (Un - 2 Un^2)... Et comment ça du même signe que 1 - 2Un ? Par récurrence, j’ai déjà démontré que Un > 0.
Bon dimanche à vous!

[Ben314]

Rappel des règles de priorité (vues au collège) :
(1) Les multiplications/divisions sont prioritaires sur les additions/soustraction :

(2) Les opérations de même priorité se font de gauche à droite :

[astral]

Euh oui en effet merci mais j’avoue ne pas voir où je n’ai pas appliquer cette règle, désolée...

[Ben314]

... U(n+1) = 3Un / 1+2Un

Alors, vu que les règle, tu semble considérer que tu les connais, tu peut me dire où sont situées les "parenthèses sous entendues" dans le truc en rouge ci dessus (provenant de ton premier messages)

[astral]

Oui j’ai effectivement oublié les parenthèses dans mon premier message, ce que j’ai remarqué quand pascal16 me l’a indiqué... Mes questions concernaient de 15h05 concertnaient le développement écrit par pascal16... Je suis désolée du mal entendu.

[aymanemaysae]

Bonjour;

On a : .

Tout d'abord , on montre par récurrence que : ;

ensuite on trouve le résultat suivant : et on

conclue que est strictement croissante .

[astral]

Bonjour aymanemaysae ! Oui je trouve la même chose mais comment justifier que ce résultat est bien supérieur à 0 ? Merci!

[pascal16]

1-Un positif car Un<1
le reste est positif car Un>0
le produit de choses positives est positif

[astral]

D’accord merci! J’ai quelques questions en plus... Que peut donc déduire de Un>0 et de Un croissante ? Ensuite, la suite Vn = Un / (1-Un). J’ai prouvé que Vn est géométrique de raison 3. Puis que Vn = 3^n (normalement c’est bon aussi). Je n’arrive pas à déduire Un en fonction de n, comment faire? Ensuite, comment puis-je déterminer la limite de Un ? Merci!

[pascal16]

Un croissante, majorée par 1 admet donc une limite <=1.

de plus la suite Vn = Un / (1-Un) tend vers l'infini

la façon qu'elle tende vers l'infinie, c'est que Un tende vers ....

donc la limite est ...

(variante : théorème du point fixe si tu l'a fait)

[astral]

Merci! Euh non je n’ai pas vu ce théorème... Mais ça me permettra de m’ava merci! Je ne sais pas car on a pas le droit de diviser quelque chose dont la limite est l’infini par autre chose dont la limite est l’infini...

[pascal16]

si on inverse la définition de Vn, on a :
Un= 1/(1+Vn)
et utilise les compositions de limites que cette fois tu as le droit d'utiliser

[pascal16]

Un= Vn/(1+Vn), excuse