2a)
Une manière parmi d'autres.
On montre facilement que 0 <= U(n) < 4
Et donc U(n)*(U(n) - 4) <= 0
(U(n))² - 4 U(n) <= 0
(U(n))² + 8 U(n) - 12 U(n) + 16 <= 16
(U(n))² + 8 U(n) + 16 <= 16 + 12.U(n)
(U(n) + 4)² <= 16 + 12.U(n)
et comme U(n) + 4 > 0, on a :
(U(n) + 4) <= RCarrée(16 + 12.U(n))
(U(n) + 4) <= 2.RCarrée(4 + 3.U(n))
(U(n) + 4) <= 2.U(n+1)
2.U(n+1) >= (U(n) + 4)
U(n+1) >= (1/2).(U(n) + 4)
- U(n+1) <= -(1/2).(U(n) + 4)
4 - U(n+1) <= 4-(1/2).(U(n) + 4)
4 - U(n+1) <= -(1/2).(U(n) + 4-8)
4 - U(n+1) <= -(1/2).(U(n) - 4)
4 - U(n+1) <= (1/2).(4 - U(n))