Suite

[ouss99]

salut
j'ai trouvé quelques difficulté concernant un exrecice suite
voila lexercice :
soit la suite Un definie par U0 = 0 et Un+1 = sqrt(3Un+4)
1)a) prouver que Un est majorée par 4
b) prouver que Un est strictement croissante
c) en deduire que un converge est déterminer sa limite
2) prouver que pour tout n on 4-Un+1≤(1/2)(4-Un)
b) retrouver la limite de Un
c) etudier la convergence de la suite Vn definie sur n par Vn= n^2*(4-Un)
j'ai repondu au
1) a Un≤4
b) Un est strictement croissante
c) Un est convergente est limUn= 4
2)a) je n'arrive pas à repondre
b) limUn=4
c) je n'arrive pas à repondre
je vous attends et merci d'avance

[infernaleur]

Salut,
pour la 2a tu pourrais partir de 4-U(n+1) =4-sqrt(3Un+4) et multiplier par la partie conjugué sa pourrais t'aider.

pour la 2c il fraudais que tu démontre par récurrence :
4-Un<=(1/2)^n*(4-U0)
Ainsi tu pourras déduire la limite de la suite (Vn) avec le théorème des gendarmes

[ouss99]

pour 2)c) j'ai deja calculer la limite de 4-Un=0 en utilisant une multuplication membre a membre puis le theoreme de gendarme mais Vn=n^2*(4-Un) le probleme que la limite est une F.I +inf*0

[infernaleur]

Tu n'as pas utilisé ce que je t'es dis,
Vn=n²(4-Un)
Or 4-Un<=(1/2)^n*(4-U0)
Donc Vn<=n²*(4-U0)/2^n
Comme U0=0
Vn<=n²/2^n-2

[infernaleur]

En fait, je pense que pour la 2b tu n'as pas fais de la bonne manière
En gros tu doit réutiliser 2a plusieurs fois :

(4-Un)<=(1/2)(4-Un-1)<=(1/2)(1/2)(4-Un-2)<=...
et tu démontre la formule que je t'es dites par récurence

[Black Jack]

2a)

Une manière parmi d'autres.

On montre facilement que 0 <= U(n) < 4

Et donc U(n)*(U(n) - 4) <= 0

(U(n))² - 4 U(n) <= 0

(U(n))² + 8 U(n) - 12 U(n) + 16 <= 16

(U(n))² + 8 U(n) + 16 <= 16 + 12.U(n)

(U(n) + 4)² <= 16 + 12.U(n)

et comme U(n) + 4 > 0, on a :

(U(n) + 4) <= RCarrée(16 + 12.U(n))

(U(n) + 4) <= 2.RCarrée(4 + 3.U(n))

(U(n) + 4) <= 2.U(n+1)
2.U(n+1) >= (U(n) + 4)
U(n+1) >= (1/2).(U(n) + 4)
- U(n+1) <= -(1/2).(U(n) + 4)
4 - U(n+1) <= 4-(1/2).(U(n) + 4)
4 - U(n+1) <= -(1/2).(U(n) + 4-8)
4 - U(n+1) <= -(1/2).(U(n) - 4)
4 - U(n+1) <= (1/2).(4 - U(n))

[infernaleur]

jolie ^^

[zygomatique]

salut

joli ... mais long ...même si bien détaillé ce qui rallonge)

classiquement avec la quantité conjuguée :

(*)

or (seule la minoration nous intéresse en fait)

donc en prenant l'inverse (*) (car u_n - 4 est négatif ...)

...

[ouss99]

merci pour tous c'est bien pour 2a et 2b
mais il reste 2c ) que ce que on peut faire apres avoir demontrer que V(n)≤n^2/2^(n-2) ??

[chan79]

salut
il y a sans doute plus simple mais voici une idée
tu peux montrer par récurrence qu'à partir d'un certain rang
et donc

[zygomatique]

on a donc

donc

or une exponentielle l'emporte sur une puissance (ce que dit chan79) et à montrer proprement (par récurrence par exemple) ...

[ouss99]

je n'ai pas compris

[infernaleur]

tu reprend le dernier encadrement que ta donner zygomatique
0<=Vn<=n²/2^(n-2)
Ensuite il ne te reste plus qu'a montrer que le terme de droite tend vers 0 par la méthode de chan79
Et tu conclue par le théorème des gendarmes.

[ouss99]

je n'ai pas compris la methode de chan j'ai compris le reste

[infernaleur]

Il te demande de montrer par récurence que à partir d'un certain rang 2^n > n^3
Donc 1/2^n <1/n^3 (la fonction inverse est strictement décroissante sur R*)
En multipliant par n² on obtient :
n²/2 ^n <1/n
Puis pour faire apparaitre le 2^n-2 on multiplie par 2² on obtient donc
n²/2^(n-2) <4/n
Ainsi ton encadrement de Vn de départ devient le suivant :

0<=Vn<=4/n
Puis tu conclut par le théorème des gendarmes.

[infernaleur]

Voila la méthode de chan si je ne me suis pas tromper.

[ouss99]

aaa oui merci bien