Suite

[steph62]

donc voila j'ai un exo de suite mélangé au complexe et je galere vraiment !

on considere la suite de nombres complexes définie par :
z0=4 et pour tout entier naturel n , zn+1= (1+ i racine de 3)/4 x zn
1 on appelle Mn le point du plan complexe d'affixe zn

1.a déterminer la forme algébrique des nombres z1.z2 et z3 ca c'est fait
1.b construire ds le plan complexe les points M0.M1.M2 et M3

2 ecrire le nombre (1+i racine de 3)/4 sous forme trigonometrique ca c'est fait

3 en utilisant la question 2 ecrire zn+3 en fonction de zn
que peut on en deduire des vecteurs OMn+3 et OMn ?
construire alors ds le plan complexe M4 et M5

4 on note pn le module du nomre zn
4a demontrer que la suite (pn) est geometrique precisez sa raison .
4b determinez la limite de cette suite quand n tend vers + l'infini
que devient le point Mn quand n tend vers + l'infini ?

si quelqu'un pourrait m'aider !

ds un autre exo, je doit donner les variations de deux suite
j'obtien
ak<ak+1
2ak<2ak+1
et la je dois rajouter bk mais est ce qu'il est possible que je mette bk a gauche et bk+1 a droite pour obtenir a la fin ak+1<ak+2 ?

[allomomo]

Salut,
utilise la relation de récurrence

[steph62]

la recurrence intervient ds toutes les questions ?
sinon d'autres avis ?

[Daragon geoffrey]

slt
tu t'aides de la relation de récurrence de l'énoncé, tu trouves, à partir de :
z(n+1)=(1+i*rac(3))/4 * z(n) implique z(n+3)=...*z(n+2) or z(n+2)=.
..*z(n+1)=0.5*e^(ipi/3)*0.5*e^(ipi/3)*z(n) donc z(n+3)=0.5*e^ipi/3)*0.25*e^(i2pi/3)*z(n)=0.125*e^(ipi)=-0.125*z(n) donc tu en conclus que les vecteurs OM(n) et OM(n+3) sont colinéaires !
Ensuite : p(n)=|z(n)| donc p(n+1)=|z(n+1)|=|0.5*e^(ipi/3)|*|z(n)|=|(1+i*rac(3)|/4 *p(n)=0.5*p(n) donc (p(n)) suite géom. de raison 1/2 d'où
p(n)=p(0)*2^(-n)=p(0)*0.5^n or 0.5 compris entre -1 et 1 donc lim 0.5^n=0 donc lim p(n)=0 équivaut à lim |z(n)|=o équivaut à lim OM(n)=0 ce qui traduit que le point M tend à être confondu avec l'origine du repère !
voilà j'espère que ça ira !