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par **truc** » 12 Sep 2010, 13:59

Bonjour,

f(x)=x+2-2ln(1+e^x)
On pose Vo= 0 et pour tout n>=0, V(n+1)=f(Vn)

Je dois faire la question suivante et je ne vois pas comment faire:

Prouver que, pour tout entier naturel n, |Vn- ;)|<= ((e-1)/(e+1))^n

Je viens de démontrer avant dans les questions précédentes que :
par le théorème des valeurs intermédiaires qu'il existe un unique réel ;)>=0 tel que f(;)) =;) et que ;)=ln(e-1)
et que pour tout entier naturel n, Vn appartient [ 0;1]
et que pour tout x appartenant [0;1] |f'(x)|<= ((e-1)/(e+1))

Pourriez-vous m'aider ?

Merci
A bientot

par **Arnaud-29-31** » 12 Sep 2010, 15:21

Salut !!

Comment exprimerais-tu la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a ?

par **truc** » 12 Sep 2010, 15:40

y = ((1-e^a)/(e+e^a)).(x-a)+a+2-2ln(1+e^a)

Je ne vois pas où vous voulez en venir
Pouvez-vous m'éclaircir ?

par **Arnaud-29-31** » 12 Sep 2010, 15:43

y = f(a) + f'(a).(x-a)

Or f(a) = a ...

Donc on a : y - a = f'(a).(x-a) .... ca doit normalement te mettre sur la voie.

par **truc** » 12 Sep 2010, 15:56

Désolé mais je ne comprend pas le rapport entre la question et la tangente.
Que vient faire la tangente ici?

par **Arnaud-29-31** » 12 Sep 2010, 16:03

Et bien il est assez facile de montrer que la courbe est sous sa tangente ...
Cela se traduit comment ?

par **truc** » 12 Sep 2010, 16:10

cela se traduit par f(x)-y <= 0

mais je ne vois toujours pas où vous voulez en venir :/

par **Arnaud-29-31** » 12 Sep 2010, 16:20

Ah bon ?! toujours pas ?

On a

On a dit que l'équation de la tangente était y = f(a) + f'(a).(x-a)
Et que comme f(a) = a on a : y = a + f'(a).(x-a)

Donc au final

par **truc** » 12 Sep 2010, 16:48

Je suis d'accord mais quel est le lien après, avec la question :

Prouver que, pour tout entier naturel n, |Vn- ;)|<= ((e-1)/(e+1))^n

Comment passe-t-on de l'un à l'autre ?

par **Arnaud-29-31** » 12 Sep 2010, 17:22

Et bien tu réinjectes

dans l'inégalité que je viens de te donner.
La je ne peux plus vraiment en dire plus ...

par **truc** » 12 Sep 2010, 18:43

Je ne comprend plus rien.

Je tombe sur |Vn-a|<= 2/(e+1)-ln(e-1) aucun rapport :(

Pouvez vous m'aider ?

par **Arnaud-29-31** » 12 Sep 2010, 18:46

Non tu ne peux pas tomber sur ça ...

On a montré que

... Si tu remplace x par

ca donne quoi ?

par **truc** » 12 Sep 2010, 19:31

ca donne f(Vn)-a<= (1-e^a)/(1+e^a)-Vn-a

Mais quand je développe f(Vn) ca me donne un truc horrible

par **Arnaud-29-31** » 12 Sep 2010, 19:34

??? moi ca me donne

... ce qui est loin d'être horrible

par **truc** » 12 Sep 2010, 19:52

Mais on est pas plus avancé avec cette écriture

V(n+1)-a<= (1-e^a)/(1+e^a)-Vn-a

par **Arnaud-29-31** » 12 Sep 2010, 20:05

Je crois que tu as oublié ce qu'on cherchait la ...

La je t'ai montré que l'on arrive à

Et si on arrive à

l'exercice est fini puisque

par **truc** » 12 Sep 2010, 20:15

Et que fait-on de ((e-1)/(e+1))^n

par **Arnaud-29-31** » 12 Sep 2010, 20:22

Visiblement tu n'es pas conscient qu'il y a une récurrence derrière tout ça ...
Donc je reprécise ...

La propriété est bien sur vraie pour les premiers termes, on peut le vérifier.

Maintenant on suppose

Donc si on arrive à

, la propriété est vraie au rang n+1 puisque tu as déjà montré que

!

par **truc** » 12 Sep 2010, 20:33

Ok j'ai tout compris

hallelujah !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Merci beaucoup pour votre aide et votre patience :)

par **Arnaud-29-31** » 12 Sep 2010, 20:34

De rien, attention lors du passage au valeurs absolues !
Il y'a pas mal de truc à faire encore avant de terminer l'exo.

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