Suite

par **skater41** » 28 Aoû 2010, 21:12

Bonsoir,

j'ai un problème de technique sur un exo.

Soit

la suite définie sur N par

Calculer

. Démontrer que, pour tout n appartient à N,

J'ai calculé

qui est égal à

Mais je ne sais pas comment démontrer que

Merci d'avance si vous pouvez m'aider ou au moins me donner une piste.

par **Sa Majesté** » 28 Aoû 2010, 21:19

Salut

Tu dois bien avoir une relation de récurrence sur

?

par **Djmaxgamer** » 28 Aoû 2010, 21:19

Est ce que

est la suite définie par

(celle de ton précédent sujet) ?

Si oui, c'est immédiat :

et tu remplace l'expression de

puis tu remplace

par

.

par **skater41** » 28 Aoû 2010, 21:21

Oui c'est cet exercice, merci beaucoup je vais essayer de faire cet exo.

par **Djmaxgamer** » 28 Aoû 2010, 21:27

tu peux ensuite poser :

Puis montrer qu'elle est géométrique. Tu as donc l'expression de

en fonction de n, puis celle de

puis enfin celle de

. Pour en revenir à l'autre sujet, tu peux alors démontrer sa décroissance et sa convergence grâce à son expression en fonction de n.

par **skater41** » 29 Aoû 2010, 11:37

Pour démontrer la décroissance j'ai utiliser cette technique:

J'ai fais le calcul et trouvé

J'en ai donc conclu que la suite était décroissante

Je ne comprends pas avec quoi remplacer

par **Rebelle_** » 29 Aoû 2010, 11:42

Bonjour ! =)

Tu peux aussi faire simplement en associant ta suite à une fonction telle que f(n)=1/n (en précisant l'ensemble de définition) et en étudiant le sens de variation (évident) de celle-ci. Enfin c'est ce qui me semble être le mieux.
Je n'ai pas vérifié ton calcul par contre !

par **skater41** » 29 Aoû 2010, 12:02

Merci de vos aides mais pour la décroissance c'est bon.
Ce que je ne comprends pas c'est comment montrer que

, j'ai essayé d'appliquer ce que m'a dit Djmaxgamer mais je ne comprends pas trop ...

Est-ce que vous pouvez m'expliquer avec plus d'étapes peut-être ?

par **Rebelle_** » 29 Aoû 2010, 12:05

La forme que Djmaxgamer donne signifie que la suite est une suite arithmétique de raison 1/2 et de premier terme 1/2.
C'est dans le cours de Première normalement mais je peux essayer de te le démontrer sinon =)

par **skater41** » 29 Aoû 2010, 12:44

Ben en fait ce que je ne comprends pas c'est comment faire pour calculer ou démontrer que

par **Djmaxgamer** » 29 Aoû 2010, 12:47

Rebelle_ a écrit:Bonjour ! =)

Tu peux aussi faire simplement en associant ta suite à une fonction telle que f(n)=1/n (en précisant l'ensemble de définition) et en étudiant le sens de variation (évident) de celle-ci. Enfin c'est ce qui me semble être le mieux.
Je n'ai pas vérifié ton calcul par contre !

On a eu une discussion similaire pour

: http://maths-forum.com/showthread.php?t=107538&page=1&pp=10 Et skater n'a pas encore étudié ce type de suite. (c'est sur qu'avec cela l'exercice se fait rapidement)

skater41 a écrit:Merci de vos aides mais pour la décroissance c'est bon.
Ce que je ne comprends pas c'est comment montrer que , j'ai essayé d'appliquer ce que m'a dit Djmaxgamer mais je ne comprends pas trop ...

Est-ce que vous pouvez m'expliquer avec plus d'étapes peut-être ?

(par définition)

(en remplacant l'expression de

)

Il ne te reste presque plus rien à faire

skater41 a écrit:Pour démontrer la décroissance j'ai utiliser cette technique:

J'ai fais le calcul et trouvé

J'en ai donc conclu que la suite était décroissante

Je ne comprends pas avec quoi remplacer

Tu pourrais détailler ?

par **Rebelle_** » 29 Aoû 2010, 12:50

Ah oui désolée, je n'avais pas vu.
Donc en effet, je pense que la technique habituelle est la meilleure. Je te laisse terminer. =)

par **skater41** » 29 Aoû 2010, 13:30

x

=

Et là je simplifie le haut et le bas par

Il me reste donc 1 en numérateur et -2 en bas, ce qui donne

par **Djmaxgamer** » 29 Aoû 2010, 13:35

skater41 a écrit:x
=

Et là je simplifie le haut et le bas par
Il me reste donc 1 en numérateur et -2 en bas, ce qui donne

oulala ne confond pas tout.

(on a pris

ce qui est different)
Oublie l'association de la fonction f à la suite, cela t'as embrouillé.

Parcequ'avec ton ton raisonnement, on a pour la suite définie par :

;

ce qui est faux.
Reprenons l'expressions de

en fonction de

avec des méthodes que tu connais.

par **AL-kashi23** » 29 Aoû 2010, 13:36

skater41 a écrit:x
=

Et là je simplifie le haut et le bas par
Il me reste donc 1 en numérateur et -2 en bas, ce qui donne

Bonjour,

Relis toi, ta simplification est quelque peu osée ! a/(a+b) n'est certainement pas égal à 1/b en simplifiant par a ..

par **skater41** » 29 Aoû 2010, 13:40

J'ai regardé dans un livre de 1ère S pour faire ça, il me semblait que c'était la technique que j'avais utilisé cette année, j'ai remplacé

par

et

par

par **skater41** » 29 Aoû 2010, 13:42

Et je n'étais en effet vraiment pas sûr pour la simplification, il faut que tout soit en produit je crois non ?

par **Djmaxgamer** » 29 Aoû 2010, 13:43

skater41 a écrit:J'ai regardé dans un livre de 1ère S pour faire ça, il me semblait que c'était la technique que j'avais utilisé cette année, j'ai remplacé par et par

Il te semble mal, c'est sur.

Djmaxgamer a écrit:Parcequ'avec ton ton raisonnement, on a pour la suite définie par : ; ce qui est faux.

Donc avec ce raisonnement la différence entre deux termes d'une suite constante n'est pas nul !?

par **skater41** » 29 Aoû 2010, 14:19

On est bien d'accord que pour démontrer les variation d'une suite il faut soit faire

?
Donc, mon calcul devrait ressembler à ceci:

Si je continue mon calcul:

=

=

Et si c'est bien ça, maintenant je ne sais pas comment conclure, je sais aussi que si ce calcul ne me permet pas de conclure, je peux utiliser

par **Djmaxgamer** » 29 Aoû 2010, 14:31

skater41 a écrit:On est bien d'accord que pour démontrer les variation d'une suite il faut soit faire ?
Donc, mon calcul devrait ressembler à ceci:

Si je continue mon calcul:

=
=
=

Et si c'est bien ça, maintenant je ne sais pas comment conclure, je sais aussi que si ce calcul ne me permet pas de conclure, je peux utiliser

http://maths-forum.com/showthread.php?t=107538&page=2&pp=10 Nous avons déjà eu une discussion la dessus : le calcul de

tout comme celui de

nécessite, pour conclure, de montrer que

.

Néanmoins, si on reprends la suite de l'exercice avec

puis, après avoir montré que

En suivant si nécessaire ces indications :

Djmaxgamer a écrit: (par définition)
(en remplacant l'expression de )
Il ne te reste presque plus rien à faire

Tu peux faire ceci :

Djmaxgamer a écrit:tu peux ensuite poser : Puis montrer qu'elle est géométrique. Tu as donc l'expression de en fonction de n, puis celle de puis enfin celle de . Pour en revenir à l'autre sujet, tu peux alors démontrer sa décroissance et sa convergence grâce à son expression en fonction de n.

Pour montrer que

est géométrique tu peux partir de l'expression de

pour montrer que

ou alors calculer

.

L'expression d'une suite géométrique en fonction de n doit être connue :

avec q la raison.
De

tu auras :

et de

tu obtiens :

. Vu que tu as l'expression de

en fonction de n, tu peux déterminer sa limite et sa variation.
Pour la limite, du passe l'expression précédente à la limite. Pour la variation, qui n'est pas évidente avec l'expression de u, tu peux étudier la variation de w, puis en déduire celle de v puis enfin celle de u.

ps : je peux difficilement en dire plus sans tout dévoiler. Si jamais tu as des problèmes, détaille tes calculs pour que l'on puisse les vérifier.

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