DM La suite de Syracuse

[nodjim]

Ben pour la preuve, faudra se lever de bonne heure...
Entretemps, j'en ai retrouvé 3 de plus:
410011
511935
626331

Au dela, je vais commencer à trouver des nbs à 11 chiffres, ça va dépasser la capa de ma machine...

[paquito]

Salut Nodjim,

Ton idée de passer en binaire est bien sûr excellente, puisque 2 devient 10 et 3 devient 11, ce qui permet de mieux voir les choses et de mettre en évidences ce qui pose des problèmes. On peut exclure les puissances de 2 et même considérer U impair dès le départ; Si on note L(U) la longueur de l'écriture binaire de U, L(3U+1)=L(U)+1 ou 2.
Si U se termine par 01, 3U se termine par 11 et 3U+1 par 00; donc l'opération U->3U+1 sera suivie par au moins 2 divisions par 2 et L(U) sera stable ou diminuera d'une unité et U aura décru; c'est le cas agréable.
Si U se termine par 11, 3U se termine par 01, 3U+1 par 10, ce qui entraîne une seule division par 2 et on aura la séquence U->3U+1->U/2->3U+1->U/2; L(U) peut gagner de 0 à2 unités et U croît; c'est le cas ennuyeux!
Si U se termine par 011, 3k se termine par 001 et on retrouve un cas presque agréable, mais si U se termine par 111, 3U se termine par 101 ce qu donnera 110, puis 11 ce qui donne au moins 3 étapes désagréables.
Le cas critique intervient quand U ne contient que des "1"ou quand U a k"1" comme chiffres terminaux;
Si U se termine par 111....111 (k chiffres), 3U se termine par 011..101 avec k-2 "1" consécutif
et la nouvelle valeur de U se terminera pat k-1 "1" consécutifs , donc la séquence U->3U+1->U/2 peut très bien avoir lieu très longtemps, mais pas infiniment. Donc avec des nombres de la formes 2^k-1, on ne peu que battre des record de temps de vol et sûrement d'altitude.
On ne peut donc avoir que des étapes finies de croissance; c'est pas ça qui démontrera la conjecture!

[radoude]

en voila un mais il y en a beaucoup d'autres (Nb, Tvol, Ratio): (63728127, 949, 36.5)

[paquito]

Merci, ça commence à faire un sacré temps de vol; mais on est certain que 2^949-1 donne un temps de vol meilleur puisque l'on commence par 948 augmentations successives, soit 948 opérations 3U+1->U/2( il faut déjà un super matériel informatique pour d'aussi grands nombres); par curiosité j'ai regardé avec 31=2^5-1 et on commence par 4 augmentations successives pour arriver à 161, la ballade est longue puisque le temps de vol est de 107 et l'altitude est de 7288 avec un ratio de 21,4; tout ça à partir d'un tout petit nombre.

[radoude]

C'est pour cela qu'une d'autres variables sont intéressantes. Le rapport altitude/Nb ou Tvol/Nb par ex

[paquito]

Pour faire une petite synthèse, en travaillant en binaire: 2 c'est 10 et 3 c'est 11 on obtient quelques résultats; excluons les puissances de 2 et les nombres pairs; on peut initialiser la suite par U impair.

Si U se termine par 101, 3U+1 se termine par 000, donc une division par 8 et U décroît.
Si U se termine par k "1", il y aura k-1 séquences 3U+1->U/2 successives et croissantes suivis d'une décroissance.(U/4)
Si l'ultime "1" est précédé de k "0", il y aura, si k est pair, k/2 périodes décroissantes de la forme 3U+1->U/4 se terminant par une séquence 3U+1->U/4 et si k est impair , il y aura (k-1)/2 séquences de la forme 3U+1->U/4 se terminant par une séquence 3U+1->U/8.
Enfin, si U se termine par une alternance de "1" et de "o" du type ..010101, si U s'écrit entièrement ainsi, 3U+1 sera une puissance de 2, sinon si l'écriture comporte 2k termes, 3U+1 se terminera par 10..00 (2k "0") et on aura comme opération 3U+1->U/2^2k.
Quand une de ces séquences est terminée, on a une nouvelle valeur impaire de U (sauf si on est tombé sur une puissance de 2) et un nouveau cycle recommencera.
Si on considère, que U étant donné on génère un processus aléatoire, la probabilité d'obtenir une suite décroissante est supérieure nettement à celle d'obtenir une suite croissante; par contre, comment prouver que U ne se retrouvera jamais dans le processus????

[paquito]

en voila un mais il y en a beaucoup d'autres (Nb, Tvol, Ratio): (63728127, 949, 36.5)

je ne trouve que 256 comme temps de vol!

[radoude]

Ben alors on a un soucis! Je continue à trouver 949. Avec des nbres plus petits j'ai retrouvé (avec le même programme) le temps de vol correct et le ratio de 27, 55 etc idem que dans ton post. Revérifie!

[paquito]

Ben alors on a un soucis! Je continue à trouver 949. Avec des nbres plus petits j'ai retrouvé (avec le même programme) le temps de vol correct et le ratio de 27, 55 etc idem que dans ton post. Revérifie!

Je pense que le problème vient de ma calculatrice, elle rencontre des nombres
trop grands et perd les derniers chiffres, ce qui fausse tout; je suis sûr que ton résultat est bon.