Suite récurrente

[Lolipop089]

Bonjour, j’ai un exercice sur lequel je bloque des les premières questions, merci d’avance si vous prenez le temps de m’aider:
Pour tout n appartenant a N on considère les sommes suivantes :
Sn= 1+2+3+...+n
Dn= 1+2²+3²+...+n²
Tn= 1+2³+3³+...+n³

1.Rappeler la propriété du cours concernant Sn
2.Montrer que T(n+1)-Tn = (n + 1)³
3.a)Montrer que (n+1)³ = n³+3n²+3n+1
On notera cette égalité En.
b)En ajoutant membre à membre les égalité En, E(n-1), E(n-2), ... , E3, E2, E1 montrer qu'on a :
T(n+1) = Tn + 3Dn + 3Sn + n + 1
4.A l'aide des questions précédentes montrer que :
1+2²+3²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6

Voici mes réponses:
1. Pour tout n appartenant à N
1+2+3+…+n= n(n+1)/2
2.Tn+1-Tn = 1+2³+3³+… +n³+(N+1)³ - 1+2³+3³+...+n³
On soustrait les nombres en commun il ne reste que Tn+1-Tn= (n+1)³
3. a) en développant je trouve bien que En= n³+3n²+3n+1
Ensuite c est à partir d’ici que ça a été compliqué pour moi.
b) je recherche
En=n³+3n²+3n+1
En-1=(n-1)³ + 3(n-1)²+3(n-1)+1
Et ainsi de suite je remplace les n par les suites demander, en ayant déjà fais quelque recherche j’ai réussi a comprendre qu’il fallait ajouter les membres de façon verticale, ce que j’ai fais je constates que cela représente bien les suites attendu je continue et finis par ceci
Ton+1=Tn+3dn+3Sn+n+1
= (1+2³+3³+...+n³)+(3+2²+3²+...+n²)+(3+3(2)+…+n)+n+1
Pour trouver n+1 j’ai additionner les 1+1+1+1 ce qui fais E0 et qui donne 1 donc n+1
Mais je sais pas si tous cela suffit à justifier la question 3 ?
Enfin pour la 4 je suis un peu perdu j’ai essayé pleins de choses
J’ai vu que cela représente les suite ds donc avec l’équation d’avant je pouvais peut être faire une égalité comme 3ds= Tn+1-Tn -Sn -n-1
Ce qui fait que Tn+1-Tn = (n+1)³ = n³+3n²+3n+1
Et pour Sn j’ai hésité je pencherai plus pour la 2e mais je ne sais pas
Soit 1. Sn= (n-1)³= n³-3n²+3n-1
Ou 2. Sn= (n-2)³ + 3(n-2)²+3(n-2)+1= n³-3n²-3n-7
Il y peut être une erreur de calcul car j’ai eu du mal
Mais je ne sais pas laquelle choisir ? Je ne sais même pas si je suis sur la bonne voie ?

Merci beaucoup

[Rdvn]

Bonjour
Revenons sur 4) :
Au 2) vous avez :
T(n+1)-T(n) = (n+1)^3
Au 3b) vous avez :
T(n+1)-T(n) = 3D(n)+3S(n)+n+1
donc
(n+1)^3 = 3D(n)+3S(n)+n+1
et vous connaissez déjà S(n)
donc...
Remarque : lors du calcul une mise en facteur de (n+1) allège la présentation
A vous

[Lolipop089]

Bonjour,
Donc je peux mettre que 3D(n)= T(n)+1 -T(n) -3S(n) -n- 1
En remplaçant les inconnus.
Je vais appliquer ça merci beaucoup !!!

[Rdvn]

Je pense que vous vous égarez
Avec les indications précédentes :
3D(n) = (n+1)^3 - 3S(n) - (n+1)
S(n) est déjà connu
On met (n+1) en facteur pour alléger les calculs
A vous ...

[Lolipop089]

Non c’est bien ce que je voulais dire, j’ai remplacé T(n+1)-Tn et Sn pour trouve 3Dn
J’ai pu comprendre et finir mon exercice
Mercii beaucoup vous m’avez beaucoup aidé

[Rdvn]

OK comme ça
Bon courage pour la suite