Suite recurrente

[kadaid]

Bonjour,

Suite (Un) definie par : U(n+1)=Un*exp(-Un) et Uo=1
Démontrer par récurrence que :
1°)
a) 0<= Un <=1
b) (Un) est décroissante et minorée.
2°) Calculer sa limite

Réponses :
1°) a)
Initialisation : U1=exp(-1) < 1, U1<Uo, donc vrai.
Supposons 0<= Un <=1 pour n fixé.
0>= Un*exp(-Un) >= exp(-un)>=1 car exp(-x) décroissante sur [0;1]
0>= U(n+1) >=1 , U(n+1) négatif ça colle pas.

Merci pour une piste.

[phyelec]

Bonjour,

comme exp(-x) continue et décroissante sur [0;1], le maximum est pour 0 soit 1 donc pour tout x appartenant [0;1], exp(-x) <=1

[kadaid]

Merci pour ta réponse.
Mais je multiplie l'inégalité 0<= Un <=1 par exp(-x) qui décroissante, je change le sens de l'inégalité et j'obtiens:
0>= Un*exp(-Un) >= exp(-un)>=1, ( 0 >= 1 c'est faux ).
A moins que mon raisonnement n'est pas correcte.

[phyelec]

exp(-Un)<= 1 car Un est <=1 hypothèse de récurrence ( 0<= Un <=1 donc Un appartient [0,1]), Un c'est le x de exp(-x)

[kadaid]

Un c'est le x de exp(-x)

Oui, je sais.

hypothèse de récurrence: 0<= Un <=1
exp(-Un)<= 1
et après, comment démontrer que 0<= U(n+1) <=1 ? Il faut bien multiplier l'inégalité 0<= Un <=1 par exp(-Un) ?
Non ?

[kadaid]

Je me suis rendu compte de mon problème qui est le suivant:
J'ai mélangé dans ma tête, la multiplication par exp(-Un) et l'application de la fonction exp(-x) qui est décroissante, à l'inégalité 0<Un<1.
Je suis étonné de ce mélange.

En multipliant l'inégalité par exp(-Un) qui positif:
0<= Un*exp(-Un) <=1, donc 0<U(n+1)<1

Je finirai le reste apès.

[kadaid]

Je fini mon exercice.
b) (Un) est décroissante et minorée.
Supposons que 0<Un<U(n+1)<1
J'applique la fonction exp(-x) décroissante sue [0;1]
1>Un*exp(-Un)>exp(U(n+1))>exp(U(n+1)>exp(-1)
1>U(n+1)>U(n+2)>exp(-1) la suite (Un) est décroissante et minorer par exp(-1)
2°) Calculer sa limite
D'après le théorème du point fixe, la limite l est solution de l'équation:
l=l*exp(-l)
exp(-l)=1
l=0

[Sa Majesté]

2°) Calculer sa limite
D'après le théorème du point fixe, la limite l est solution de l'équation:
l=l*exp(-l)
exp(-l)=1
l=0

Non
Tu ne peux diviser par l que si l est non nul
l=l*exp(-l)
l(1-exp(-l))=0 donc l=0 ou 1-exp(-l)=0

[kadaid]

Oui tu as raison, il faut toujours privilégier la factorisation pour avoir toutes les solutions.
1-exp(-l)=0 équivaut à l=0
Finalement l=0, c'est bien ça ?

[Sa Majesté]

Finalement l=0 oui

[kadaid]

Merci pour tout.