Suite et récurrence

[petitefleure]

Bonjour à tous et bien j'ai un devoir maison a faire et je bloque sur une bonne partie de celui-ci. Serait-il possible de m'aider ? Ce serait vraiment très gentil, merci d'avance à vous tous.

Donc voilà l'enoncé :

1. On considere la fonction f definie sur ]0;+oo[, par : f(x)=1/2*(x+2/x)
On definit une suite (Un) par : Uo=1 et Un+1=f(Un)
>conjecturer le comportement de la suite Un : sens de variation et limite
2. Calculer les 5 premier terme de la suite sous forme fractionnaire:
c'est fait : Uo=1
U1=3/2
U2=17/12
U3=577/408
U4=665857/470832
3. Verifié a l'aide de la calculatrice les inégallités : Uo < 2< U4 < U3 < U2 < U1
c'est verifié et c'est correct.
4. Le but de la question est de determiner la limite de Un.
a. Montrer que pour tout x > 0, f(x) - (racine)2 = (x-(racine)2)² / 2x
je les réussis

je n'y arrive pas du tout à partir de cette question
b. Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un>ou égal à 1.
c. En deduire pour tout entier n>ou égal à 1, on a :

|Un-(racine)2|
d. En deduire que:
|Un-(racine)2|
e. En remarquant que |Uo-(racine)2| < 1/2, en deduire que:
|Un-(racine)2|
f. Montrer que pour tout entier n, 2(puisance)(n+1)-1 >ou egal à n+1; En deduire la limite de (Un).

5.A l'aide de la calculatrice determiner le plus petit entier n tel que :

(1/2)puissance(2n+1-1)<10-100

En deduire que le terme U8 permet d'avoir de facon certaine les 99 premières decimales de (racine)2.


Voilà toute cette derniere partie où je n'y arrive pas du tout. Aider moi s'il vous plait et encore merci.

[fonfon]

salut,

b. Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un>ou égal à 1.

j'ai fait rapidement donc il ya peut-être autrement

soit (Un) def par Uo=1 et ,pour tt n ds N ,Un+1=f(Un)
on peut montrer que la suite est croissante pour n>=1

Soit la propriété Pn:Un1
donc Po est vraie.
On suppose donc que ,pour un entier n, Pn est vraie.ON a alors Unou égal à 1

pour la suite il faut peut-être utiliser l'inegalité des accroissement finis

[petitefleure]

je te remercie de ton aide pour cette question. Enfait moi je me compliquai la vie ta maniere est plus simple. Mais pour la suite je vois pas commet faire et je ne sais pas ce qu'est l'inégalité des accroissements finis???

[fonfon]

Re, je peux te donner le theorémùe :

Soit f une fonction derivable sur un intervalle I s'il existe un réel M tel que sur I on ait:

pour tout x ds I |f'(x)|<=M alors il existe a et b quelconque de I on a:
|f(b)-f(a)|<=M|b-a|

essaies d'appliquer et de te servir des precedentes questions notamment de 4a

[petitefleure]

bon je vais essayer merci encore pour ton aide

[petitefleure]

j'en suis à la 4d et je n'y arrive pas je suis bloqué, quelqu'un sorait il la faire???