Bonjour à tous,
j'ai plusieurs exos pour demain dont celui-ci qui me pose de grosses difficultés, j'ai des lacunes en suite et les récurrence c'est tout nouveau.
Soit Un la suite définie par U0=7 ; Un+1=10Un-18
Démontrer par récurrence que pour tout naturel n, Un= 5*10n+2.
Initialisation;
U1= 10*7-18= 52
et U1=5*10^1+2= 52
Donc vrai pour n=K
C'est bon jusque la?
Il faut prouver que la propriété est vraie au rang k+1 mais je n'y arrive pas, c'est deja dur mais alors avec des suites...
Mille merci a ceux qui voudront bien m'aider. :)
[TS] Suite et réccurrence
11 messages
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par Benjamin » 10 Sep 2008, 12:48
Bonjour,
L'initialisation est à faire pour n=0, puisqu'on te demande de démontrer le résultat pour tout n entier naturel.
L'hérédité, c'est supposé qu'on a la proposition vraie pour un certain rang donné. Et on regarde si on peut passer au rang suivant (tu peux jeter un oeil ici, message#8).
Tu te donnes donc un entier n, et tu supposes que pour cet entier, Un= 5*10^n+2.
Reste à calculer U(n+1), et à voir si tu retrouves bien cette même formule, en utilisant la relation de récurrence donnée dans l'énoncé.
L'initialisation est à faire pour n=0, puisqu'on te demande de démontrer le résultat pour tout n entier naturel.
L'hérédité, c'est supposé qu'on a la proposition vraie pour un certain rang donné. Et on regarde si on peut passer au rang suivant (tu peux jeter un oeil ici, message#8).
Tu te donnes donc un entier n, et tu supposes que pour cet entier, Un= 5*10^n+2.
Reste à calculer U(n+1), et à voir si tu retrouves bien cette même formule, en utilisant la relation de récurrence donnée dans l'énoncé.
par Michel00 » 10 Sep 2008, 13:03
Merci beaucoup, je n'ai jamais fait ça avant.
Ce que j'ai fait est bon ou faux?
Si U0=7
ça confirme bien la propriété U0=5*10^0+2=7
Et U1=U0+1= 10*7-12= 52
Vérification U1= 5*10^1+2=52
K+1 est vrai pour cette propriété
On a bien prouvé l'hérédité?
Ce que j'ai fait est bon ou faux?
Si U0=7
ça confirme bien la propriété U0=5*10^0+2=7
Et U1=U0+1= 10*7-12= 52
Vérification U1= 5*10^1+2=52
K+1 est vrai pour cette propriété
On a bien prouvé l'hérédité?
par Benjamin » 10 Sep 2008, 13:12
Non, pas du tout. Tu as montré que c'est vrai pour le cas n=0 et que c'est vrai pour le cas n=1.
L'initialisation est bonne :
L'hérédité, c'est se placer à un rang n quelconque, et regarder si on peut continuer d'avancer (pense à l'image de l'échelle dans le lien que je t'ai donné
).
Donc, soit n un entier tel que Un=5*10^n+2.
(Tu considères donc que pour cette entier, la formule générale est vraie. C'est une hypothèse, puisque rien n'est encore prouvé. Le raisonnement par récurrence est basé là-dessus : si cette hypothèse permet de montrer que la propriété reste vraie au rang suivant, alors c'est gagné).
On cherche donc à montrer que U(n+1)=5*10^(n+1)+2.
A toi de le démontrer, en t'appuyant sur l'hypothèse de récurrence.
L'initialisation est bonne :
.Michel00 a écrit:Si U0=7
ça confirme bien la propriété U0=5*10^0+2=7
L'hérédité, c'est se placer à un rang n quelconque, et regarder si on peut continuer d'avancer (pense à l'image de l'échelle dans le lien que je t'ai donné
).Donc, soit n un entier tel que Un=5*10^n+2.
(Tu considères donc que pour cette entier, la formule générale est vraie. C'est une hypothèse, puisque rien n'est encore prouvé. Le raisonnement par récurrence est basé là-dessus : si cette hypothèse permet de montrer que la propriété reste vraie au rang suivant, alors c'est gagné).
On cherche donc à montrer que U(n+1)=5*10^(n+1)+2.
A toi de le démontrer, en t'appuyant sur l'hypothèse de récurrence
.par Michel00 » 10 Sep 2008, 13:31
Benjamin631 a écrit:Non, pas du tout. Tu as montré que c'est vrai pour le cas n=0 et que c'est vrai pour le cas n=1.
L'initialisation est bonne : .
L'hérédité, c'est se placer à un rang n quelconque, et regarder si on peut continuer d'avancer (pense à l'image de l'échelle dans le lien que je t'ai donné
Donc, soit n un entier tel que Un=5*10^n+2.
(Tu considères donc que pour cette entier, la formule générale est vraie. C'est une hypothèse, puisque rien n'est encore prouvé. Le raisonnement par récurrence est basé là-dessus : si cette hypothèse permet de montrer que la propriété reste vraie au rang suivant, alors c'est gagné).
On cherche donc à montrer que U(n+1)=5*10^(n+1)+2.
A toi de le démontrer, en t'appuyant sur l'hypothèse de récurrence
D'accord, si on prouve que l'hypothèse est vrai au rang n=K mais qu'elle est vrai aussi pour K+1 la propriété est démontré, je pense bien avoir saisi le raisonnement.
Mais en concret comment avancer après avoir posé; U(n+1)=5*10^(n+1)+2.
Montrez moi seulement la démarche puis je vous propose le reste
par Michel00 » 10 Sep 2008, 13:35
On a ces deux données
Un+1=10Un-18
Un+1= 5*10(n+1)+2= 50*10^n+2 (mais bon..)
Je vois pas comment les rapprocher d'un coté on a Un de l'autre n.
Un+1=10Un-18
Un+1= 5*10(n+1)+2= 50*10^n+2 (mais bon..)
Je vois pas comment les rapprocher d'un coté on a Un de l'autre n.
par Benjamin » 10 Sep 2008, 13:39
Tu confonds un peu tout.
On ne prouve pas que l'hypothèse est vrai au rang n=K, on suppose qu'elle l'est. Ce qu'on prouve, c'est : "si on suppose vraie l'hypothèse au rang n=K, alors elle est vraie aussi au rang n=K+1".
Ensuite, c'est juste l'hérédité qui est faite. La propriété est démontrée si tu as à la fois l'hérédité et aussi l'initialisation (le premier barreau de l'échelle, qui permettra de grimper jusqu'en haut).
Tu ne poses pas cela, c'est ce que tu cherches à prouver !!
Supposons que la propriété est vraie au rang n=K. Donc UK=5*10^K+2. (c'est ce qu'on appelle l'hypothèse de récurrence).
U(K+1)=...........=5*10^(K+1)+2.
Il faut juste compléter les pointillés. Si tu arrives à démontrer que U(K+1)=5*10^(K+1)+2, tu as en effet montrer que la propriété est vraie au rang K+1, donc c'est gagné (puisque l'initialisation est vraie).
.Michel00 a écrit:D'accord, si on prouve que l'hypothèse est vrai au rang n=K mais qu'elle est vrai aussi pour K+1 la propriété est démontré
On ne prouve pas que l'hypothèse est vrai au rang n=K, on suppose qu'elle l'est. Ce qu'on prouve, c'est : "si on suppose vraie l'hypothèse au rang n=K, alors elle est vraie aussi au rang n=K+1".
Ensuite, c'est juste l'hérédité qui est faite. La propriété est démontrée si tu as à la fois l'hérédité et aussi l'initialisation (le premier barreau de l'échelle, qui permettra de grimper jusqu'en haut).
Michel00 a écrit:Mais en concret comment avancer après avoir posé U(n+1)=5*10^(n+1)+2.
Tu ne poses pas cela, c'est ce que tu cherches à prouver !!
Supposons que la propriété est vraie au rang n=K. Donc UK=5*10^K+2. (c'est ce qu'on appelle l'hypothèse de récurrence).
U(K+1)=...........=5*10^(K+1)+2.
Il faut juste compléter les pointillés. Si tu arrives à démontrer que U(K+1)=5*10^(K+1)+2, tu as en effet montrer que la propriété est vraie au rang K+1, donc c'est gagné
(puisque l'initialisation est vraie).par hamoud » 10 Sep 2008, 14:09
ne complique pas la vie des gens :--:
alors
on suppose que
U(k) = 5×10^k +2 et on montre que U(k+1) = 5×10^(k+1) +2
U(k+1) =10U(k) - 18= 10×(5×10^k +2 ) -18 = 5×10^(k+1) +20 -18
= 5×10^(k+1) + 2 cqfd :++:
alors
on suppose que
U(k) = 5×10^k +2 et on montre que U(k+1) = 5×10^(k+1) +2
U(k+1) =10U(k) - 18= 10×(5×10^k +2 ) -18 = 5×10^(k+1) +20 -18
= 5×10^(k+1) + 2 cqfd :++:
par Michel00 » 10 Sep 2008, 14:13
Benjamin631 a écrit:Tu confonds un peu tout.
.
On ne prouve pas que l'hypothèse est vrai au rang n=K, on suppose qu'elle l'est. Ce qu'on prouve, c'est : "si on suppose vraie l'hypothèse au rang n=K, alors elle est vraie aussi au rang n=K+1".
Ensuite, c'est juste l'hérédité qui est faite. La propriété est démontrée si tu as à la fois l'hérédité et aussi l'initialisation (le premier barreau de l'échelle, qui permettra de grimper jusqu'en haut).
Tu ne poses pas cela, c'est ce que tu cherches à prouver !!
Supposons que la propriété est vraie au rang n=K. Donc UK=5*10^K+2. (c'est ce qu'on appelle l'hypothèse de récurrence).
U(K+1)=...........=5*10^(K+1)+2.
Il faut juste compléter les pointillés. Si tu arrives à démontrer que U(K+1)=5*10^(K+1)+2, tu as en effet montrer que la propriété est vraie au rang K+1, donc c'est gagné
Pourtant j'ai bien compris tout ça, je suis certainement stupide mais j'y arrive pas.
U(K+1)=...........=5*10^(K+1)+2
je vois vraiment pas quoi faire ou mettre pour le prouver... après 15min de reflexion.
par Michel00 » 10 Sep 2008, 14:16
hamoud a écrit:ne complique pas la vie des gens :--:
alors
on suppose que
U(k) = 5×10^k +2 et on montre que U(k+1) = 5×10^(k+1) +2
U(k+1) =10U(k) - 18= 10×(5×10^k +2 ) -18 = 5×10^(k+1) +20 -18
= 5×10^(k+1) + 2 cqfd :++:
Ah d'accord mais oui, j'avais pas du tout pensé a ça, suffit de remplacer... bon et bien merci beaucoup a vous deux!
par Benjamin » 10 Sep 2008, 15:19
hamoud a écrit:ne complique pas la vie des gens :--:
J'avoue que j'ai été un peu trop théoricien sur cette action. Désolé si je t'ai un peu perdu Michel.
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