Suite par récurrence

par **Remus** » 04 Déc 2010, 18:50

Bonjour à tous, je viens à vous dans un état de grande détresse. J'ai beau avoir, je crois, compris les récurrences, je n'arrive pas à faire la suivante, pourriez-vous m'aider ?

"Sachant que u(n+1) = (un - 8)/(2un - 9)
que u(0) = -3
et que vn = 1 - un ;
Démontrez que pour tout n :
v(n+1) < (1/7) v(n)
et déduisez-en la limite de la suite (vn)"

Je sais qu'il faut faire une récurrence pour le montrer. Je l'ai prouvé au rang le plus bas la propriété et elle est vraie, je parviens à sortir un v(n+2) < (1/7)*(1/7)*v(n); en tout cas je croyais que l'on peut faire ça mais je ne suis pas sûr car j'ai dit que v(n+1) = (1/7)vn en gros; mais je ne sais pas si j'ai le droit de faire ça, car si j'ai le droit, je peux remplacer la dernière partie de mon inégalité et dans ce cas c'est résolu.

Merci d'avance pour votre aide.

par **Ben314** » 04 Déc 2010, 19:50

Salut,
Commence par réécrire la formule de réccurence pour qu'elle te donne V(n+1) en fonction de Vn : tu y verra nettement plus clair.

par **Remus** » 05 Déc 2010, 12:26

Je parviens à exprimer v(n+1) en fonction de u(n) mais je ne vois pas comment y insérer le v(n). Faut-il utiliser v(n) = 1 - u(n) ?

par **Remus** » 05 Déc 2010, 12:55

Je crois avoir réussi à trouver :

v(n+1) = (-vn)/(2un-9)
Donc par récurrence, je trouve bien à la fin que v(n+2) < (1/7) v(n+1)

Merci beaucoup :)

Mais deux autres questions me posent problème. On me demande en effet d'en déduire la limite de la suite v(n). Comment puis-je faire ?
Après je dois calculer la limite de la suite un ça j'ai réussi mais la dernière question est obscure : Trouvez un entier N tel que, pour tout n>N , un > 0,99.

par **Remus** » 05 Déc 2010, 20:25

Personne ne peut m'aider ?

par **sad13** » 05 Déc 2010, 20:45

t'as une relation entre v(n+1) et V(n) et tu dois savoir que la limite d'une suite est unique , à toi de continuer............!

par **Remus** » 05 Déc 2010, 20:49

Je dois donc calculer la limite de la suite v(n+1) que j'ai exprimé plus haut en fonction de vn ? Car la limite de un est demandée mais après celle de vn.

par **sad13** » 05 Déc 2010, 20:59

oui continues je parlais à titre d'exemple de Un mais j'avais bien regardé les données de l'exo, dsl

par **Remus** » 05 Déc 2010, 21:55

Mais pour connaitre la limite de v(n+1), ne faut-il pas connaitre celle de vn et de un vu mon expression ? Mais qu'est-ce qui tend vers l'infini vu qu'on n'a pas de x ? un ?

par **sad13** » 05 Déc 2010, 22:09

j'ai perdu le fil dsl mais regardes:

Pour les fonctions c'est x qui tend vers +infini en général et pour les suites c'est n .

Donc soit l la limite de V_n et comme t'as V_n+1 en fonction de V_n, t'auras , en passant à la limite :

l=g(l) si on a : V_n+1=g(V_n)

puis tu dois résoudre cette équation à une inconnue et l'affaire est close.

C'est clair?

par **Remus** » 05 Déc 2010, 22:48

Je ne comprends pas comment passer de l'un à l'autre :s et donc comment identifier la limite

par **sad13** » 05 Déc 2010, 22:50

regarde :

On a : V(n+1) en fonction de Vn je note cette égalité par (*)
ok?

Soit l la limite de la suite Vn or la limite d'une suite étant unique, c'est aussi la limite de Vn+1 d'où en utilisant la relation (*) tu peux conclure. car elle te donne une relation entre l (limite de Vn+1) et l(limite de Vn)

Voilà, je ne peux pas plus expliciter

par **Remus** » 05 Déc 2010, 22:58

Mais que représente ce (*) ? ce par quoi je dois multiplier vn pour obtenir v(n+1) ?

par **sad13** » 05 Déc 2010, 23:04

relis le message modifié

par **Remus** » 05 Déc 2010, 23:14

Je ne comprends pas en quoi (*) représente l'égalité entre vn et v(n+1). Pour moi les deux l sont égaux vu que la limite est unique. C'est ça ?

par **sad13** » 05 Déc 2010, 23:17

non je vais dire un truc brut à titre d'exemple :

soit Vn+1=6/5* Vn OK?

j'appelle cette égalité (*), d'après (*) et par uncité de la limité d'une suite, si je note l la limite de la suite Vn , j'ai : l=6/5*l donc l =....

Voilà reproduis ce shéma pour ton cas et ton calcul et ç'est réglé, désolé du manque de clarté.

par **Remus** » 05 Déc 2010, 23:21

Dans ton cas je suppose que 5l² = 6 donc l = racine de 6/5 ... ?

Dans le mien je trouve que l = -l/(2un-9)
Mais en développant le calcul le l s'élimine. C'est normal ? Je devrai le conserver logiquement or là il disparait

par **sad13** » 05 Déc 2010, 23:25

non dans mon cas l=5/6l donc l=0 et ds le tien, oui, normalement t'auras l=....et non pas un l qui disparait , revois ton calcul car c'est la seule méthode que je vois.

N'As tu pas la limite de Un?

par **Remus** » 05 Déc 2010, 23:30

Non on ne demande cette limite qu'après, à la question suivante. Je dois vraiment être bête car je ne comprends même pas pourquoi dans ton cas l = 0. Et dans le mien je ne vois pas comment isoler mon l car ça fait bien l = (-l)/(2un-9) ?

par **sad13** » 05 Déc 2010, 23:36

l=5/6l donc 1/6l=0 ok? et donc l=?

ds ton cas , refais le calcul, car là suis à cheval avec un autre truc, sincèrement désolé et tu vas y arriver .

étant donné, que Un t'as pas sa limite ben garde la telle quelle .

Changement de route, je veisn de relire ton énoncé

Passe moi ta relation de récurrence de Vn+1 en fonction de Vn et à la base tu avs trouver un truc du style Vn+1<=(1/7)^n.V0 et on sait que lim q^n =0 quand n tend vers l'infini pour |q|<1.

mama mia dsl mais je regardais que le bas du topic bref , tu dosi y voir mieux là

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