Suite par récurrence avec logarithme

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Bonjour, alors voilà j'ai fait toute la 1ere partie de l'exercice mais pour la 2e je beug un peu...

Soit f(x) = ln(x^2+4) et g(x) = f(x) - x définies sur [0;+infini

Concernant la partie 1 : j'ai du faire les tableaux de variations de f et g ect.
Déterminer un encadrement à 10^-3 de la solution alpha (g(x) = 0 admet une unique solution alpha sur [0;+infini : j'ai trouvé alpha = 2,15873 et donc l'encadrement à 10^-3 : 2,158 < 2,159 < 2,160
Déterminer le signe de g et j'ai mis que g > 0 puisque f(x) > 0 donc f(x)-x > 0

Concernant la partie 2 : Uo = 1 et Un+1 = f(Un)
On m'a demandé de tracer les 4 premiers termes donc je l'ai fais. Ensuite de conjecturer : j'ai mais que (Un) semble strictement croissante et converge vers une valeur proche de 2,2.Puis il faut démontrer par récurrence que " 1 < ou égale à Un < ou égale à alpha" et j'ai utilisé ici la stricte croissance de f sur [0;+infini et j'obtiens ln(5) < ou égale à Un+1 < ou égale à 2,15873 soit alpha donc Pn+1 vraie.

Par contre, il me demande après de prouver que (Un) est croissante donc je fais Un+1 - Un = f(Un) - Un = ln(Un^2+4) - Un = Un ( (ln(Un^2+4)/Un) - 1 ) donc > 0 donc croissante??
Il faut ensuite en déduire que la suite (Un) converge vers un réel là je sais pas, même chose pour déterminer la valeur exacte de l et en donner une valeur approcher au centième.

Si vous pouvez me corriger et m'aider pour ce que je ne sais pas, c'est à finir pour demain me concernant...

Merci d'avance!!

[Ben314]

Salut

...je fais Un+1 - Un = f(Un) - Un = ln(Un^2+4) - Un = g(Un)

Il faut ensuite en déduire que la suite (Un) converge vers un réel là je sais pas, <= Ta suite est croissante et majorée donc...
même chose pour déterminer la valeur exacte de l et en donner une valeur approcher au centième.

On sait que, pour tout n, U(n+1)=f(Un) que Un tend vers L lorsque n->oo.
Vers quoi tend U(n+1) ? et f(Un) ?
Qu'en déduit-on ?

Sur le principe, le reste me semble juste, mais j'ai pas vérifié les calculs.

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Merci beaucoup pour vos réponses!

Alors concernant Un+1 - Un = f(Un) - Un = g(Un) > 0 car précédemment on a dit que g(x) > 0 sur[0;+infini ??

Après (Un) est croissante et majorée par alpha donc elle converge vers un réel l ??
(car on a 1 < ou égal à Un < ou égal à alpha)

Sa valeur est donc alpha = 2,15873 soit 2,16??

[Ben314]

Merci beaucoup pour vos réponses!

Alors concernant Un+1 - Un = f(Un) - Un = g(Un) > 0 car précédemment on a dit que, pour tout réel x de [0,+oo[ on a g(x) > 0 (et Un est bien un réel particulier de [0,+oo[)

Après (Un) est croissante et majorée par alpha donc elle converge vers un réel l ?? OUI : c'est un théorème du cours extrêmement important


Sa valeur est donc alpha = 2,15873 soit 2,16?? <= Pour le moment tu n'en sait rien : tu sait uniquement qu'elle converge vers un réel <= alpha (car elle est majorée par alpha)

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Du coup il faut que je réponde quoi exactement pour la question déterminer sa valeur (reel) et une valeur approchée au centième??

[Ben314]

Il faut que tu commence par répondre à ces questions (pour déterminer L) :

On sait que, pour tout n, U(n+1)=f(Un) que Un tend vers L lorsque n->oo.
Vers quoi tend U(n+1) ? et f(Un) ?
Qu'en déduit-on ?

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J'en sais trop rien /