Suite numérique Terminale S

[bjsl]

Bonjour,
J'ai voulu faire des exercices pour me remettre dans le bain et puis je suis face à un dilemme. Je ne comprends pas trop l'énoncé et j'aimerai bien que vous m'expliquer, me mettre sur le droit chemin.
C'est un exercice qui demande à utiliser des suites numériques.

Voici l'énoncé
Dans une ville de 10 000 habitants à 8 heures du matin, 100 personnes apprennent la nouvelle. Une heure plus tard ce sont 250 personnes en tout qui la connaissent. On note P(n) le nombre de personnes connaissant la nouvelle n heures après 8 heures.
On propose différents modèles:
- Modèle 1: On adopte l'hypothèse que le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l'intervalle de temps [n;n+1] est proportionnel à P(n).
- Modèle 2: On adopte l'hypothèse que le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l'intervalle de temps [n;n+1] est proportionnel au nombre de personnes qui ne sont au courant de rien.
- Modèle 3: On choisit un modèle logistique où P(n)= (10 000)/(99q^n+1) avec q= 39/99
Rédiger un comparatif de ces trois modèles.

Merci d'avance.

[Black Jack]

Je t'aide pour le modèle 1 ... et tu essaies de faire les autres.

Soit P(0) le nombre de personnes au courant de la nouvelle à 8h
Soit P(n) le nombre de personnes au courant de la nouvelle à (8+n) h

Modèle 1:
La traduction mathématique de : "le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l'intervalle de temps [n;n+1] est proportionnel à P(n)." est :

P(n+1) = k.P.(n) avec k une constante à déterminer (à partir de P(0) = 100 et P(1) = 250)

P(1) = k.P(0)
250 = k.100
k = 2,5

---> P(n+1) = 2,5.P(n) avec P(0) = 100

C'est donc une suite géométrique de raison 2,5 et de premier terme = 100, on a donc :

P(n) = 100 * 2,5^n

Mais c'est seulement valable pour n >= 0 et tant que : 100 * 2,5^n <= 10000
*****

:zen:

[bjsl]

D'accord merci
Est-ce que pour le modèle 2 c'est comme ça :
p(n+1)= k.[10 000 - p(n)]
Pour p(0)= 9900 car (10 000-100)
et pour p(1) = 9750 car (10 000 -250)
donc k= 9900/9750 = 65/66
donc p(n+1)= 65/66.[10 000 - p(n)]
??

[bjsl]

j'ai trouvé
p(n+1)=5/198 . (10 000-p(n))
comment peut-on déduire p(n) à partir de ca ?
mercii

[Black Jack]

D'accord merci
Est-ce que pour le modèle 2 c'est comme ça :
p(n+1)= k.[10 000 - p(n)]
Pour p(0)= 9900 car (10 000-100)
et pour p(1) = 9750 car (10 000 -250)
donc k= 9900/9750 = 65/66
donc p(n+1)= 65/66.[10 000 - p(n)]
??

k.[10 000 - p(n)] est bien le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l'intervalle de temps [n;n+1] ...

Mais il ne faut pas oublier ceux qui déjà étaient au courant juste avant le début de l'intervalle [n;n+1] (qui était P(n))

Pour moi, on a donc : p(n+1)= p(n) + k.[10 000 - p(n)]
...

:zen:

[bjsl]

d'accord :).
Donc je sais que le modèle le plus logique serait le troisième car tout d'abord, il a pour limite 10 000. Mais comment pourrais-je mieux expliciter celà?
ca peut pas etre le modèle n° 1 car il n'y a pas de limite, ca va au dela de 10 000 et ce n'est pas logique et inversement pour le modèle n°2