Suite numérique

[Eloustik]

Bonjour a tous

Voila j'ai un exercise sur les suite le début sa va mais arriver a la fin de la question 2 et à la question 3 et 4je bloque totalement...

On considère la suite numérique u définie par :
U0=-1 et Un+1=(3+2Un)/(2+Un)

1) Calculer les 4 premiers termes de la suite.
2) Démontrer, par récurrence, que Un est un nombre positif pour tout entier n non nul ; en déduire que Un est défini quel que soit l'entier n.
3) Démontrer par récurrence, que la suite est majorée par racine de 3.
4) Déterminer le sens de variation de la suite u.

Mes réponses...

1) Uo=-1
U1=1
U2=5/3
U3=19/11

2)Soit la proposition P(n) : "Un>0" pour tout n de N
Initialisation
U1=1 donc U1>0 donc P(1) est vraie

Hérédité
Montrons que pour un certain entier naturel n, si P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie. c'est à dire si Un>0 alors Un+1>0.
Si P(n) est vraie, alors Un>0
Un>0 donc 2UN>0 alors 3+2Un>0 et 2+Un>2>0
donc (3+2Un)/(2+Un)>0 alors Un+1>0
Donc P(n+1) est vraie

Conclusion
Pour tout n de N*, P(n) est vraie, c'est à dire Un>0 est vraie

Et la je ne sais pas comment déduire que Un est défini quel que soit l'entier n...

3)Soit la proposition P(n) : "Unracine de 3 donc P(1) est vraie

Hérédité
Montrons que pour un certain entier naturel n, si P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie. c'est à dire si Un<racine de 3 alors Un+1<racine de 3.

Et la je n'arrive pas à montrer que Un+1<racine de 3...

4) Comment faire ici puisque l'on ne peut pas utiliser Un+1-Un?

Merci d'avance pour vos réponses
Bonne soirée a tous

[uztop]

Bonjour,

1) C'est bon
2) La récurrence est juste.
Ensuite, pour que soit définie pour tout n, il faut que soit définie aussi et donc que . Est ce que c'est bien le cas ?
3) Ca peut se démontrer assez facilement par l'absurde: que se passe-t-il si ?
4) On peut très bien faire , où est le problème ?

[Florélianne]

Bonsoir,

si Un > 0 2 + Un >0
le dénominateur n'étant jamais nul, la suite est définie pour tout n entier naturel

3) Un+1=(3+2Un)/(2+Un)
si Un 1/(2+V3)
-1/(2+Un) 0
et comme 2+Un > 0
Un+1 - Un > 0
la suite est croissante

sur msn, bénévolement : florelianne@live.fr
Très cordialement

[uztop]

Florélianne, tes réponses sont justes.
Je te remercie de l'aide que tu apportes mais je pense que le but du forum n'est pas de donner des réponses toutes faites, mais plutôt des pistes.

[Eloustik]

Merci beaucoup pour vos réponses...
Je comprend mieux :)

Après je dois montrer que une suite Vn=(Un-racine de 3)/Un+racine de 3) est géomètrique. La je montre que Vn+1 peut etre égal à q*Vn?

Merci beaucoup de vos réponses :)

[uztop]

La je montre que Vn+1 peut etre égal à q*Vn?

oui, enfin tu montres que Vn+1 EST égal à q*Vn

[Eloustik]

Alors là en faisant le calcul de Vn+1 j'arrive a :
Vn+1=(3+2Un-racine de 3*(2+Un))/(3+2Un+racine de 3*(2+Un))
Mais la j'arrive pas trop à combiner tous sa pour trouver Vn...
Merci beaucoup de tes reponses :)

[Eloustik]

Personne ne pourrai me donner une piste svp ? :s
Je suis bloqué :(

Merci d'avance...

[chtimomo]

Bonjour à tous,

Je poste à la suite de ce sujet pour ne pas recréer le même.

Je trouve aussi:
Vn+1=(3+2Un-racine de 3*(2+Un))/(3+2Un+racine de 3*(2+Un))
Et je n'arrive pas à transformer ça en multiple de (Un-V3)/(Un+V3).

Si quelqu'un a une idée je suis preneur.

Merci