Suite et limite

[MisaxChan]

Bonjour,
Comment peut-on démonter que la suite Un=(8+n)/(4+n) converge et admets une limite
A l'aide de ma calculatrice j'ai trouver qu'elle tend vers 1 mais je ne vois pas comment le démontrer.
Merci de votre aide

[Mortelune]

On peut exhiber la limite en divisant par n "en haut" et "en bas" avec 8/n et 4/n qui tendent vers 0 en l'infini ce qui simplifie l'étude de la limite.
Ou alors énoncer la limite comme étant le rapport des coefficients de plus haut degré (numérateur/dénominateur - ici on a un rapport de deux polynômes en n de degré 1-) de cette fraction rationnelle.

Pour la convergence on peut chercher à montrer que est décroissante et minorée.

[MisaxChan]

Si j'ai donc bien compris on peu démontrer la limite en 1 en utilisant la règle des polynôme de plus haut degré
donc comme n est de plus haut degré cela donne "1/1" donc limite en 1 ?

[Mortelune]

Oui c'est bien ça.

[Rebelle_]

Bonjour ! =)

Non, tu ne peux pas utiliser cette régle :/ Elle marche, comme vous l'avez dit, dans le cas d'une fonction rationnelle (définie sur R - {valeur(s) interdite(s)}), or ici n est un naturel...

[Mortelune]

Bonjour, et

Si besoin on défini une nouvelle fonction de dans mais ça reste un intermédiaire.

[Rebelle_]

La propriété que tu utilises marche pour les fonctions rationnelles, qui sont définies pour des valeurs réelles de leurs inconnues, alors qu'une suite est définie pour des rangs exclusivement entiers... Tu ne peux pas utiliser cette règle pour justifier de la limite d'une suite :/

Enfin après ce n'est que mon avis hum ;)

[MisaxChan]

Comment je peux trouver cette limite alors ?

[Rebelle_]

Si besoin on défini une nouvelle fonction de \mathbb{R} dans \mathbb{R} mais ça reste un intermédiaire.

Si tu définis une fonction de R dans R il faut faire attention que les règles que tu utilises pour étudier les limites de la fonctions soient bien compatibles avec les conditions qu'impose la définition de la suite sur N.

[Mortelune]

J'ai édité au dessus. J'étais peut être allé un peu rapidement dans ma justification mais ça fonctionne bien, cette règle étant une conséquence de la technique que j'avais juste au dessus.

[MisaxChan]

Je comprends le problème mais je ne vois pas d'autre solution pour trouver cette limite

[Rebelle_]

On te demande de montrer qu'elle converge et qu'elle admet une limite, pas de calculer ladite limite ;)

[MisaxChan]

Oui c'est vrai. Mais je dois quand même montrer qu'elle admet une limite alors comment faire si je n'ai pas besoin de la calculer ?
La calculatrice me montre bien qu'il y en a une mais ça ne me permet pas de justifier

[Mortelune]

Il suffit de se contenter de ça alors :

Pour la convergence on peut chercher à montrer que est décroissante et minorée.

ça nous donne également que la limite existe.

[MisaxChan]

J'ai donc juste a montrer que la suite est décroissante et montrer qu'elle ne passera jamais par 1?

[Rebelle_]

En effet, si une suite est décroissante et minorée alors elle converge, c'est un théorème du cours :)
Il ne reste plus qu'à montrer les deux conditions ;)

[Rebelle_]

J'ai donc juste a montrer que la suite est décroissante et montrer qu'elle ne passera jamais par 1?

Tu peux montrer que u_n < 1 pour tout n de N oui... C'est-à-dire montrer que 1 est un minorant de (u_n). =)

[MisaxChan]

Malheureusement en cours on a survolé tellement rapidement les limites que l'on a pas appris a démontrer qu'elle est minorée, je sais qu'il faut que la suite pour etre minorée doit avoir un réel m tel que Un>m
Mais pour trouver le m la calculatrice me suffit ?

[Mortelune]

Tu vois que ta suite est strictement positive pour tout n. Il suffit de dire qu'elle est minorée par 0 ou tout autre nombre négatif si on ne te demande pas d'expliciter la limite.

[MisaxChan]

D'accord! Merci beaucoup de votre aide !