Suite géométrique et convergente.

[Gleek_Attict]

Bonjour tout le monde !
Voilà je bloque un peu sur un de mes exercice de maths, je penses avoir besoin d'un peu d'aide :)
Voici l'énoncé :
- La suite (Un) est définis par U0=1/2 et pour tout entier naturel n Un+1= (3Un)/(1+2Un). La suite est positive, majorée par 1, croissante et convergente.
Soit (Vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par Vn= (Un)/(1-Un).

1) Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 3.
Là je sais que je dois calculer Vn+1 et arriver à la fin à 3xVn, mais je n'arrive pas à faire le développement du calcul, je bloque dès le début ..

2) Exprimer pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n.
Celui là je penses avoir réussi. Comme Vn=V0*q^n, j'ai calculé V0, puis j'ai trouvé Vn = 3^n. Est ce que c'est juste ?

3) En déduire que, pour tout entier naturel n, Un=(3^n)/(3^n+1).
Pour cette question je ne sais pas du tout comment m'y prendre ... Comment faire ?

4) Déterminer la limite de la suite (Un)
Comme (Un) est convergente car elle est croissante et majorée, j'ai cherchée la limite L et avec une équation j'ai trouvé que la limite de la suite c'était 1 est ce juste ?

Merci d'avance :)

[Ben314]

Salut,
Vu que pour tout entier naturel n, c'est que


P.S. A mon époque (certes trés lointaine...) on apprenait au collège que "les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustraction"
Donc ça : Un/1-Un il n'y a qu'une et une seule façon de l'interpréter, à savoir

[Gleek_Attict]

Bonjour, après avoir fait ça il faut bien calculer le numérateur et le dénominateur par (1+2Un) ?
Comme ça à la fin on arrive après simplification à (3Un)/(1-3Un) qui est bien égale à 3(Un/(1-Un)). Est la bonne démarche et la bonne réponse ?

Merci beaucoup !