Suite à exprimer en fonction de 3 variables

[lulu math discovering]

Salut

En ce moment, j'étudie une suite/fonction de terme général définie pour tout n de N*, et pour tout couple (c,e) de N² telle que :


et


Pour les pointilleux, je spécifie que si j'ai noté le e en exposant, c'est parce que je ne voulais pas surchargé la notation en indice des paramètres. Le nombre S n'est pas élevé à la puissance e, c'est juste une notation en exposant.

J'ai compris que je devais utiliser une suite auxiliaire géométrique afin de pouvoir trouver une expression mais je n'arrive pas à en trouver une.

[lulu math discovering]

Pour une suite Un classique avec une définition de la forme :

avec

Il faut résoudre l'équation

Puis étudier la suite Un-X qui est une suite géométrique, et enfin en déduire l'expression de Un.

Mais ici, ça n'a pas l'air de fonctionner, car a et b ne sont pas des constantes ici.

[Lostounet]

Hello,

Si on note S(c,n,e) ces nombres, que vaut S(c,n,2) par exemple?

[lulu math discovering]

Pour reprendre ta notation :



à moins d'avoir fait une erreur de calcul

[lulu math discovering]

En appliquant la méthode que j'ai exposé plus haut, je trouve


et en effet, je trouve bien

mais du coup est-ce que je peux dire que :
J'avoue que je m'y perd un peu avec tous ces paramètres alors qu'on étudie la récurrence qu'avec une seule variable au lycée.

[Pseuda]

Salut

En ce moment, j'étudie une suite/fonction de terme général définie pour tout n de N*, et pour tout couple (c,e) de N² telle que :


et


Pour les pointilleux, je spécifie que si j'ai noté le e en exposant, c'est parce que je ne voulais pas surchargé la notation en indice des paramètres. Le nombre S n'est pas élevé à la puissance e, c'est juste une notation en exposant.

J'ai compris que je devais utiliser une suite auxiliaire géométrique afin de pouvoir trouver une expression mais je n'arrive pas à en trouver une.

Bonsoir,

Pour simplifier les choses, tu peux remarquer aussi que : .

Et utiliser la formule : .

[lulu math discovering]

J'ai remarqué, mais je ne peux pas me servir de ce truc à cause des coefficients (n+c) et c.

[Pseuda]

Sauf erreur de calcul, et .

Il s'agit ensuite de démontrer une récurrence.

[lulu math discovering]

Oui mais

[Pseuda]

Pour une suite Un classique avec une définition de la forme :

avec

Il faut résoudre l'équation

Puis étudier la suite Un-X qui est une suite géométrique, et enfin en déduire l'expression de Un.

Mais ici, ça n'a pas l'air de fonctionner, car a et b ne sont pas des constantes ici.

Bonjour,

Pour n et c donnés, a est une constante (n+c), mais b n'est pas une constante (varie avec l'indice de récurrence e). Donc on ne peut pas employer cette méthode.

Sinon, je ne vois pas de formule de récurrence évidente sans partir dans des choses compliquées qui ne me semblent pas du niveau lycée.

[lulu math discovering]

Si je peux t'enlever un doute, ce n'est pas un exercice de lycée, c'est juste un problème que je me pose.

Mais du coup ça m'embête bien.

[Pseuda]

Ah bon, je comprends mieux.

Tu peux essayer de faire les calculs pour c=1.
Avec e=0, on obtient la somme des n premiers entiers puissance 0 (soit n), avec e=1, la somme des n premiers entiers, et avec e=2, celle des n premiers carrés.

[lulu math discovering]

C'est exactement l'intérêt de cette fonction (j'aurais dû te le dire avant, un jour il faudra que j'apprenne à donner toutes les infos d'un coup)
C'est la somme des n premiers entiers, élevés à la puissance e et "cumulés au rang c" (mon jargon à moi)
Par exemple la somme jusqu'à 3,

c=0 : 3
c=1 : 1+2+3
c=2 : (1)+(1+2)+(1+2+3)

Formellement ça donne :

[Pseuda]

Ah, je comprends mieux (bis).

Tout devient beaucoup plus clair. Cette formule est intéressante (je ne la connaissais pas). On doit pouvoir la démontrer par récurrence sur n, c et sur e (facile sur n avec c=1), mais je me demande comment elle a été trouvée (séries entières ?).

Quant à une formulation de S(n,c,e) en fonction de n, c et e (je pense que c'est ce que tu cherches à faire), je n'ai pas d'idée de comment y arriver.

Avec c=1 (ce que je connais), on peut exprimer S(n,1,e) à l'aide d'un polynôme en n de degré e+1, il faut donc une généralisation des coefficients. Pour c2, le degré du polynôme doit certainement être plus élevé que e+1.

Il y a une autre formule, beaucoup plus évidente celle-là : .

[lulu math discovering]

En fait, très simplement, si on note d le degrés du polynôme, pour tout entiers naturels c et e, on a :
d=c+e (j'ai dit très simplement)

Sinon t'inquiète pas la formule que je t'ai donnée, je l'ai démontrée. D'ailleurs je pense que je vais l'écrire.

[lulu math discovering]

Par définition,

et




On démontre par récurrence sur c l'égalité
pour tout n de N* et tout couple (c,e) de N²

Initialisation


et

donc l'égalité est vraie pour c=0

Hérédité : On suppose que l'égalité est vraie pour un entier naturel c.







Or (je l'ai démontré aussi)

d'où

donc
l'égalité est vraie pour l'entier c+1

Conclusion ...

[lulu math discovering]

Pour te donner un peu toutes les formules

mais tu l'as trouvée



qui se généralise en

Cette dernière relation permet de trouver une xpression générale, mais j'aimerais bien une expression sans sigma.

[Pseuda]

Ok ! Ta démonstration de la récurrence sur c me paraît correcte (je n'ai pas le temps de voir la démonstration dans le détail, ainsi que les autres formules).

Par contre, la dernière formule en c', je ne vois pas a priori à quoi elle avance par rapport à la précédente pour obtenir une expression en fonction de n, c et e (sans sigma et sans formule de récurrence). Le c peut être choisi arbitrairement ?

Je reviendrai plus tard quand j'aurai plus de disponibilités, après le bac et le brevet.

[Pseuda]

Bonjour,

Rectification : sans me paraît difficile, étant donné que tu cherches un polynôme en n de degré e+c.

Sinon, il y a toujours la méthode brutale qui consiste à calculer le polynôme pour quelques valeurs de e et c, et de le "deviner" pour toutes valeurs, puis de le démontrer. Pas très élégant, mais bon, en désespoir de cause.

Dernière remarque : trouver une formule générale sans relation de récurrence, à partir d'une relation qui comporte une double relation de récurrence, me paraît difficile. Il faut peut-être s'attacher à trouver d'abord une relation qui élimine une des 2 relations de récurrence . Mais je pense que c'est ce que tu as essayé de faire dans ta dernière formule.

[lulu math discovering]

Oui je pense que ce sera plus facile de discuter après les exams.
Et oui c et c' peuvent être n'importe quels entiers naturels du moment que c'>c
Pour reprendre la dernière formule

Elle donne en particulier

Or

Donc pour tout couple (n,c) de N*² et pour tout e de N,

Mais je crois que tu as raison et qu'on ne peut pas trouver de formule générale sans sigma (exprimer un polynôme de degrés e+c sans sigma ?). Après, ce qui me donnais espoir, c'est qu'elle semble toujours factorisable.
Pour la méthode BRUTALE ( ), c'est comme ça que j'avais deviné les formules pour e=0 et e=1. Après c'est trop compliqué.