Suite et exp

[Leperou]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour un petit exercice , voici l'énoncé :

On considère la suite Un = (e^n)/(n^n)
1 . Avec la calculatrice conjecturer le sens de variation et la limite éventuelle de la suite Un
2. Soit Vn la suite définie pour tout entier naturel n non nul par Vn=ln (Un)
a) Montrer que la suite Vn est décroissante
b) Déterminer la limite de la suite Vn
c) démontrer les conjectures émises à la question 1

La 1 c'est fait, mais la a) je suis pas sur, c'est Vn+1 - Vn qu'il faut faire ?

[titine]

Ça me paraît une bonne idée de calculer V(n+1) - V(n) !
Qu'est ce que ça donne ?

[Leperou]

Bah je sais pas trop justement, on vient d'entamer ln et exp donc c'est un peu difficile pour l'instant

[pascal16]

(e^n)/(n^n)

ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

pour a et b >0
ln (a^b)= b ln(a)

[Leperou]

Je tombe sur
-ln (n+1)-ln (n)
C'est correcte ou pas ?

[Leperou]

Petit Up

[pascal16]

détaille un peu tes calculs

(e^n)/(n^n)

ln((e^n)/(n^n) ) = ln(e^n)- ln (n^n) <- formule 1

ensuite, 2 fois la formule 2 qui est applicable

[titine]

Ce qui te donne V(n) = ln(e^n) - n ln(n) = n - n ln(n)
D'accord ?
Donc V(n+1) - V(n) = (n+1) - (n+1) ln(n+1) - n + n ln(n)
Non ?

[pascal16]

oui, ça marche, tu simplifie les deux n ensemble, ce qui reste est négatif pour n>2

l'autre solution est de dériver f(x) = x-xln(x) , f'(x)=-ln(x) <0 pour x >1

Vn décroissante donc, reste la limite

[Leperou]

J'ai pas compris ce que vous avez écris avec la dérivée, vous mélangez les x avec les n ça va être compliqué

[pascal16]

Vn décroissante, c'est bon ?
et sa limite ?

[Leperou]

Sans vouloir vous embêter, je n'ai pas suivi votre raisonnement j'aimerai bien comprendre ce que vous avez fait

[pascal16]

si une suite Un est définie par Un=f(n)

f croissante sur R+ implique Un croissante sur N par exemple.
car la croissance sur les nombre réels implique la croissance sur les nombres entiers

démo rapide
f croissante sur R+
⇒ "soient a et b positifs a<b ⇒ f(a) < f(b), f conserve l'ordre"
⇒ "soient a et b entier natures a<b ⇒ f(a) < f(b)"
⇒ "soit n entier naturel n<n+1 ⇒ f(n) < f(n+1)"
⇒ "soit n entier naturel n<n+1 ⇒ Un <Un+⒈
⇒ Un croissante

Ce n'est pas pareil quand Un+1=f(Un)
Etudier le signe de Un+1-Un revient à étudier le signe de f(x)-x

[Leperou]

Pour la lim , c'est en +infini qu'il faut faire ?

[pascal16]

Vn décroissante (mais ça sert pas en fait)

Vn= quoi
il est facile de démontrer que Vn <-n pour n>1

ensuite, on utilise la composition de limite
si Vn -> a
exp(Vn)-> exp(a)
donc Un -> exp(a)
et si à tout hasard a= -oo, on ruse un peu en disant que a est aussi négativement grand qu'on veut, donc exp(a) est aussi proche de 0 qu'on veut.