Suite encore et encore...

par **mimine_69** » 14 Nov 2006, 09:43

Bonjour à tous, j'ai pris un exercice qui n'est pas noté pour m'entrainer au controle que j'aurais jeudi (2h) sur les suites. J'aimerais que vous m'aidiez à le finir pour pouvoir enchainer d'autres exercices.Je bloque à partir de la 2).
Voici l'énoncé:

Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0On définit les suites Un et Vn par:
Uo=a et, U(n+1)=2UnVn/Un+Vn
Vo=b et, V(n+1)=Un+Vn/2

1)Vérifier que (Un) et (Vn) sont strictement positifs.
Ici ok j'ai réussi à vérifier. :we:

2)On pose pour tout entier naturel n,Wn=Vn-Un
Démontrer que 0=pr tout entier naturel n, on a 0=remarquer que W(n+1)= ((Un+Vn)²-4(UnVn))/2(Un+Vn)... j'essaye de simplifier le calcule pour trouver (Un-Vn)²/2(Un+Vn) = Wn*(Un-Vn)/2(Un+Vn) mais sans succès! :triste:

3)Démontrer que la suite Un est croissante et que Vn est décroissante.
Je sais qu'il faut étudier le signe de U(n+1)-Un=? je trouve pas et V(n+1)-Vn= Un/2.
Mon problème c'est que je n'arrive pas à calculer U(n+1)-Un et je sais pas étudier le signe de Un/2 vu que je ne connais pas Un. :hein:

4)Que peut-on en déduire pour les suites Un et Vn?
les deux suites sont adjacentes, donc elles ont la même limite x. :we:

5)A l'aide de l'étude de la suite (UnVn), déterminer la valeur de la limite commune des suites Un et Vn.
Application: En prenant a=3 et b=5, déterminer à l'aide de Un et Vn un encadrement d'amplitude inférieur à 10^-2 de 15 par deux rationnels.

Je vous en prie aidez moi pour les questions 2) 3) en m'expliquant comment vous y etes arrivé.Je suis en panique pour le control aidez moi a finir cette exercice pour que je continue met révision CALMEMENT. :cry: :triste:

par **fonfon** » 14 Nov 2006, 10:17

Salut, j'ai le temps 5 mn je t'aide pour la 3)

3)Démontrer que la suite Un est croissante et que Vn est décroissante.
Je sais qu'il faut étudier le signe de U(n+1)-Un=? je trouve pas et V(n+1)-Vn= Un/2.
Mon problème c'est que je n'arrive pas à calculer U(n+1)-Un et je sais pas étudier le signe de Un/2 vu que je ne connais pas Un.

il faut se servir de

il faut bien calculer

donc

tu sais d'apres 1) que

et

sont strictement positives et d'apres 2)

donc ....

de même

or

donc ....

par **mimine_69** » 14 Nov 2006, 17:42

Aaah OK ,avec Wn ça marche bcp mieux :we: :we: MERCI bcp fonfon pour ton aide c'est trop sympa :happy2: .
J'ai réussi pour la 2) à simplifier et je trouve bien que W(n+1)= ((Un+Vn)²-4(UnVn))/2(Un+Vn)... = Wn*(Un-Vn)/2(Un+Vn).
Pouvais me dire ce que signifie "majorer la fraction par 1".je ne comprend pas très bien :triste:
Merci pour l'aide apportée! :happy2:

par **fonfon** » 14 Nov 2006, 17:55

Pouvais me dire ce que signifie "majorer la fraction par 1".je ne comprend pas très bien

Rappel :

Une suite

est dite majorée si,et seulement si, il existe une constatnte A telle que pour tout n,

par **mimine_69** » 14 Nov 2006, 21:41

OK grace à ta définition pour repondre à la question 2) j'ai pensé à majoré la fraction restante par 1 c'est à dire Wn*(Un-Vn)/2(Un+Vn) mais mon résultat est un petit peu bizarre et il n'abouti à rien :triste:
Pouvez vous m'aidez à majoré cette fraction SVP.

par **mimine_69** » 15 Nov 2006, 08:12

Help me! j'ai toujours pas fini cette exercice et j'ai un controle sur les suites demain.AIDEZ MOI A LE FINIR SVP. :cry: :cry: :triste:

par **fonfon** » 15 Nov 2006, 08:48

Salut, pourrais-tu ecrire la question 2) tel qu'elle te l'est posée car là tu pars dans plusieurs direction

est-ce que c'est l'exercice qui te demande de majorer la fraction par 1 ou c'est toi qui veut faire ça?

par **fonfon** » 15 Nov 2006, 08:58

je te poses ça car on on te demande de demontrer que:

2)On pose pour tout entier naturel n,Wn=Vn-Un
Démontrer que 0=<W(n+1)=<1/2Wn

et on te dit que

or

donc tu remplaces tu en deduit quoi pour

et pour montrer que

tu peux montrer que

par **mimine_69** » 15 Nov 2006, 12:57

OK j'en déduis queW(n+1)<0 mais pour W(n+1)-1/2Wn=<0 j'ai fait Wn*Un-Vn/2(Un+Vn) = (-V²n-U²n)/(U²n+V²n)-1/2(Vn-Un) = (-V²n-U²n)/(U²n+V²n)-1/2Vn+1/2Un et là si je met tous au même dénominateur je trouve :doh: des U^3 et des V^3 et je pense pas que c'est pas normale!!! :cry:

par **fonfon** » 15 Nov 2006, 13:28

re,

OK j'en déduis queW(n+1)<0 mais pour W(n+1)-1/2Wn=<0 j'ai fait Wn*Un-Vn/2(Un+Vn) = (-V²n-U²n)/(U²n+V²n)-1/2(Vn-Un) = (-V²n-U²n)/(U²n+V²n)-1/2Vn+1/2Un et là si je met tous au même dénominateur je trouve des U^3 et des V^3 et je pense pas que c'est pas normale!!!

c'est faux on te demande de montrer que

et toi tu trouves que

????

ensuite laisse ton expression comme on te la donne à savoir

et ensuite calcule

par **mimine_69** » 15 Nov 2006, 18:07

oui faute de frappe c'est bien W(n+1) supérieur à 0 désolé. En calculant W(n+1)-1/2Wn je trouve à la fin 2U²n-4UnVn je suis vraiment pas sur du résultat :hein: :hein: :triste: Si ce résultat est faux auriez vous l'amabilité dde me montrer le bon résultat avec quelque explication pour refaire mn calcule en fonction de votre résultat. Merci d'avance pour votre aide :we:

par **fonfon** » 15 Nov 2006, 18:23

je sais pas ou tu as mis le denominateur

je te donne le debut tu completeras

je te laisse finir le calcul tu vas trouver quelque chose <=0 donc tu auras bien

ensuite tu fais ta recurrence en appliquant la methode habituelle

par **mimine_69** » 15 Nov 2006, 19:23

Ah j'ai fait une grosse erreur de signe au début :mur: mais j'ai continué le calcul et je trouve (U²n-UnVn)/(Un+Vn); on peut plus simplifier à partir de là n'est ce pas?
La récurrence je l'utilise juste que pour démontrer que 0=

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