Suite définie par récurrence

[celiine11]

Bonjour, besoin d'un peu d'aide car je ne suis pas trop sure de ma réponse sur un exercice!
Voici l'énoncé : On définit la suite (un) n avec n appartenant a N par uo = 3 et pour tout entier naturel n par u(n+1) = (un)² - un
Etudier le sens de variation de cette suite.
Voici ma réponse : https://i.postimg.cc/rpVZ0dRn/72608207- ... 0624-n.jpg
Mais je pense que la justification n'est pas complètement vraie parce que si f est croissante n'implique pas que un est croissante quand u(n+1) est définie par f(un). Quelle est les conditions sur f pour avoir les variations de la suite (un) ??

[lyceen95]

Ta justification est effectivement fausse.
Si la suite (Un) était définie par et , ton raisonnement serait inchangé, tu concluerais que (Un) est croissante, alors que cette nouvelle suite n'est pas croissante !

[celiine11]

Effectivement je suis d'accord, avec le graphe et de f(x) et de y=x on le voit bien. Mais théoriquement et sur papier, comment on peut le justifier ?

[Tuvasbien]

D'après l'étude de , est croissante sur donc en particulier sur . On peut alors montrer par récurrence que . Ensuite, pour étudier le sens de variations de , il faut étudier le signe de . Si on note , on a et il faut donc étudier le signe de sur puisque d'après ce qui précède pour tout . On peut ou bien étudier les variations de , ou bien plus rapidement écrire pour donc est strictement croissante.

[celiine11]

D'après l'étude de , est croissante sur donc en particulier sur . On peut alors montrer par récurrence que . Ensuite, pour étudier le sens de variations de , il faut étudier le signe de . Si on note , on a et il faut donc étudier le signe de sur puisque d'après ce qui précède pour tout . On peut ou bien étudier les variations de , ou bien plus rapidement écrire pour donc est strictement croissante.

D'accord , merci
Autre petite question: on voit que f(0) = 0 et que f(2) = 2 donc ceux sont des points fixes.
on voit graphiquement que lorsque u0 est compris entre -1 et 2, la suite va soit converger ou alors faire une spirale ! Et lorsque u0 est inferieur a -1 , elle converge également! Comment expliquer le fait que lorsque u0 est entre -1et 2 , elle converge ou fait une sorte de spirale ?
Je ne sais pas si je suis bien claire..