Suite avec valeur absolue

[loulou69]

Bonjour,
Je bloque sur un exercice sur les suites,
Voici l'énoncé

La suite Un définie par U0=1 et U(n+1)= racine(2+Un)

1. a) Montrer par récurrence que la suite (Un) est majorée par 2
b) Montrer par récurrence que la suite (Un) est strictement croissante
Que peut on déduire es résultats a) et b)?

abs= valeur absolue
2. Prouver que abs(U(n+1))= abs(Un-2)/(racine de (2+Un) + 2) et
en déduire que pour tout n abs(U(n+1)-2) < 1/2 abs(Un-2)


3. Déduire de la question précdente que
abs(Un-2) < (1/2)^n abs(U0-2)

Calculer alors lim Un en justifiant le résultat
n-> +inf

J'ai fait les question 1 et 2 et je bloque à la 3
Merci d'avance pour votre aide!

[Ericovitchi]

Si tu as démontré la question 2) alors il suffit que tu itères ton inégalité abs(U(n+1)-2) < 1/2 abs(Un-2) à , etc... jusqu'à

[loulou69]

Désolé mais je comprends pas bien ce que tu veux dire :s

[Ericovitchi]

tu peux écrire ça pour tout n : abs(U(n+1)-2) < 1/2 abs(Un-2)
écris le pour n maintenant : abs(U(n)-2) < 1/2 abs(Un-4)
pour (n-1) : abs(U(n-1)-2) < 1/2 abs(Un-3)
-etc-------------

regarde ce qu'il se passe si tu substitue la (2) dans la (1) puis la (3) dans la (2) etc...