Suite 1ere S

par **zauberine** » 25 Avr 2007, 10:22

Bonjour à tous,
voilà j'ai un exercice sur les suites à faire et j'ai quelques souci avec certaines questions...

L'énoncé
un jardinier amateur tond sa pelouse toutes les emaines et recueille à chaque fois 120 litres de gazon coupé il stocke dans un bac a compost d'une capacité de 300 litres.
Chaque semaine,par décomposition ou prélèvement, les matières stockées perdent les trois quarts de leur volume.
on désigne vn le volume en litres, stocké après n tontes. On a v0=0
1a) Verifier que
v1=120 v2=150 et v3=157,5
b)Déterminer une relation de recurrence liant vn et vn+1
c) la suite v(n) est t-elle géométrique ou arithmétique ?

2) On définit la suite (an) des accroissements de (vn) par , pour tt entier n superieur ou égale a 1, an = vn -vn-1
a) Quelle est la nature de la suite a(n)
b) Exprimer an en fonction de n

3) Démontrer que pour tout entier n superieur ou égale a 1
vn = v0+a1+a2+a3+...+an
b) En deduire l'e^pression de vn en fonction de n

4) Les conditions restant les mêmes , le bac de stockage serea -til un jour rempli?

Ce que jai déjà fait

la question 1a
1b ) la relation étant vn+1= 120 +1/4n
c) La suite est arithmétique

Pour la suit ede l'exercices tous se complique ... la nature d'une suite c'est dire si elle est geométrique ou arithmétique ou pas ?

Donc voila si vous pouviez m'aider a comprendre ce quil faut faire pour la question 2 a et b et eventuellement la question 3 ça serait aimable a vous ...

Merci de votre attention et de votre eventuelle reponse :we:

par **Flodelarab** » 25 Avr 2007, 10:39

Oui c ça.
La nature est le type de suite, si tu preferes

pour une arithmétique: U(n+1)-U(n)=constante
pour une géométrique: U(n+1)/U(n)=constante

ok?

par **Quidam** » 25 Avr 2007, 10:50

zauberine a écrit:1b ) la relation étant vn+1= 120 +1/4n
c) La suite est arithmétique

La suite

est effectivement arithmétique. Malheureusement, ta formule est fausse ! En outre, on te demandait une relation de récurrence, c'est-à-dire une relation liant

à

et ici tu as donné une formule explicite, donnant

en fonction de n !

La formule demandée est en fait

Alors, la suite est-elle arithmétique ou géométrique ?

par **zauberine** » 25 Avr 2007, 11:03

quidam /bah elle sera arithmétique de raison 1/4 nan ?

Flodelarab/ merci maintenn jai compris ca ...

par **Quidam** » 25 Avr 2007, 11:59

zauberine a écrit:quidam /bah elle sera arithmétique de raison 1/4 nan ?

Ah oui ? Ben non !

Tu as calculé v0=0, v1=120, v2=150 et v3=157,5

Moi je vois que v1-v0=120, que v2-v1=30, que v3-v2=7,5 ; tu appelles ça une suite arithmétique ?

Je croyais que la différence entre deux termes consécutifs d'une suit arithmétique était constante !

Je répète que la suite un=120+(1/4)n est bien arithmétique, mais que ce n'est pas la suite de ton problème !

par **zauberine** » 25 Avr 2007, 12:21

donc ce que je recherche c'est bien vn+i=1/4vn +120....

Mais le problème la c'est que vn+1/vn n'est pas une constante
v1/v0=0 v2/v1=1.25 v3/v2=1.05 ...

J'ai encore une erreur dans mon raisonnement ou ce n'est pas une suite?

merci pour votre aide en out cas... :we:

par **Flodelarab** » 25 Avr 2007, 13:10

Tu as tout compris.
Elle n'est ni arithmétique, ni géométrique.
C'est une conclusion possible.

Ensuite, on te fait étudier autrement cette suit qui n'est pas "classique" (ni arithmétique, ni géométrique)

par **zauberine** » 25 Avr 2007, 13:21

d'accord merci car je partais deja sur une mauvaise reponse ...
Donc ensuite pour demontrer si la suite an est geometrique et arithmétique je procede de la même maniere... Mais du coup il faut que je calcule a(n+1)-a(n)=vn+1-vn-vn+vn-1
=-v(n+1)+v(n-1)-2v(n)
Ce n'est donc pas une suite arithmétique

a(n+1)/a(n)=[v(n+1)-v(n)]/[v(n)-v(n-1)]
a(n+1)/a(n)=????
Je sasi que je dois trouver 1/4 mais jarrive pas a le démontrer .... :hein:
Mais c'est une suite géométrique de raison 1/4 cette fois ci ...

par **Flodelarab** » 25 Avr 2007, 13:50

Tu as tout compris. Continue.
Exprime ton calcul en fonction de V(n-1) et tout se simplifie.

par **Quidam** » 25 Avr 2007, 14:03

zauberine a écrit:donc ce que je recherche c'est bien vn+i=1/4vn +120....

Mais le problème la c'est que vn+1/vn n'est pas une constante
v1/v0=0 v2/v1=1.25 v3/v2=1.05 ...

Eh oui !

n'est pas constant ! Donc...Ce n'est pas une suite géométrique !
Par ailleurs, comme je te l'ai rappelé ci-dessus,

n'est pas constant non plus.
Donc...ce n'est pas une suite arithmétique !

zauberine a écrit:J'ai encore une erreur dans mon raisonnement ou ce n'est pas une suite?

Pourquoi y aurait-il une erreur si ce n'est pas une suite géométrique et pas une suite arithmétique ? Ce n'est pas une catastrophe nationale ! L'avantage des suites géométriques et des suites arithmétiques, c'est qu'on les connaît bien, qu'elles sont faciles à manipuler, etc... Mais il y a d'autres suites !

A la question : est-ce une suite arithmétique ou géométrique, la bonne réponse est : non, ce n'est ni l'une ni l'autre !

par **zauberine** » 25 Avr 2007, 14:12

Flodelarab a écrit:Tu as tout compris. Continue.
Exprime ton calcul en fonction de V(n-1) et tout se simplifie.

hummm mais comment faire ? car je ne peux pas le mettre en facteurs en haut et en bas si ?
nn je vois vraiment pas comment ... jaurais peut-etre plus facile de l'exprimer en fonction de v(n+1)
Est-ce que -v(n+1)=v(n+1) ?

Quidam/ c'est vrai que c'est aps uen catastrophe =) mais ça me semblait tout simplement louche c'est pour ca ...

par **Flodelarab** » 25 Avr 2007, 14:20

zauberine a écrit:hummm mais comment faire ? car je ne peux pas le mettre en facteurs en haut et en bas si ?
nn je vois vraiment pas comment ... jaurais peut-etre plus facile de l'exprimer en fonction de v(n+1)
Est-ce que -v(n+1)=v(n+1) ?

Quidam/ c'est vrai que c'est aps uen catastrophe =) mais ça me semblait tout simplement louche c'est pour ca ...

Je ne relève pas ta dernière question à laquelle tu peux répondre toi même.

Quand à la simplification, ne trouves tu pas un numérateur multiple du dénominateur ? (ou l'inverse)
Donne nous ta dernière fraction trouvée si tu trouves pas

par **zauberine** » 25 Avr 2007, 15:18

oui pour la derniere question c'était stupide désolée

donc pour la simplification ...
On a
a(n+1)/a(n)= [v(n+1)-v(n)]/[v(n)-v(n-1)

D'après une question précédante on sait que v(n+1) = 120 +(1/4)v(n)
j'en déduis l'égalité suivante
a(n+1)/a(n)=[120+(1/4)v(n)-v(n)/[v(n)-v(n-1)

a(n+1)/a(n)=[120-3/4v(n)/[v(n)/v(n-1)

de l'égalite v(n+1) = 120 +(1/4)v(n) j'en déduis que v(n)=120+1/4v(n-1) Je remplace donc v(n) par 120+1/4v(n-1)

Donc
a(n+1)/a(n)=[120-3/4*(120+1/4v(n-1)]/[120+1/4v(n-1)-v(n-1)]
a(n+1)/a(n)=[120-90-3/16*v(n-1)]/[120-3/4*v(n-1)

Et à partir de là je m'embrouille jai essayé de multiplier le numérateur par l'inverse du dénominateur mais ca donne a(n+1)/a(n)=1/2-120/3v(n-1)-1/640*v(n-1)
Donc c'est faux
est-ce une erreur de calcul ou de raisonnement ?

merci pour votre patience

par **Flodelarab** » 25 Avr 2007, 15:46

non. C parfait.

Dans ta dernière expression, factorise le dénominateur par 4 et finis d'arranger les termes dans le numérateur.

Que remarques tu ?

par **zauberine** » 25 Avr 2007, 16:05

merciiiiiiiiii je remarque qu'on peux simplifier le tout par (30-3/16v(n-1) merci bcp bcp !!!

donc jai continuer les questions suivante s
2) pour exprimer a(n) en fonction de n jai trouvé ça a(n)=120*(1/4)n-1

pour la 3a) jai démontrer que calculer a revenait a calculer le gazon present au bout de n semaine donc v(n) était la somme de tte les accumulations et du volume initial ...

Mais jarrive a exprimer v(n) en fonction de n ....

par **Flodelarab** » 25 Avr 2007, 16:10

On reconnait une somme accordéon:

Regarde ICI pour t'inspirer

par **zauberine** » 25 Avr 2007, 16:36

d'accord pour la somme accordéon ( question annexe quand est-ce qu'on sait qu'on peut l'utiliser ?)
donc on trouve v(n)=120*[1-(1/4)n/-3/4]

POur la quatrième question on recherche n tel que v(n)=300 ( car 300 et lacapacité du compost) dc 120*[1-(1/4)n/-3/4]=300 [1]
ce qui donne [1]=[120-120*(1/4)n]/(-3/4)
[1] [120-120*(1/4)n]*(-3/4)=300
[1] -160-160*(1/4)n=300
[1] -160*(1/4)n=460
[1] (1/4)n=46/16

et la je bloque encore une fois :stupid_in

par **Flodelarab** » 25 Avr 2007, 16:59

???
Pour la somme accordéon, tu pars de rien... donc je vois pas pkoi tu n'aurais pas le droit. Si tu as utilisé la même présentation que moi, c bon.
Tu as bien le droit d'additionner tout ce que tu veux ...

Je ne vérifie pas les calculs. Je te fais confiance. Je ne prends que la dernière phrase:

Par cohérence, tu devrais mettre des < et pas des = (en respectant les règles...)

par **zauberine** » 25 Avr 2007, 17:32

oui jai utilisé ta presentation :)

heu jai pas compris ton calcul désolée qu'estce que le ln ?

par **Flodelarab** » 25 Avr 2007, 18:03

ah ?

mille excuses. Si tu n'as pas vu la fonction logarithme, alors ta seule possibilité est de tâtonner avec la calculatrice. Verifie bien ton calcul avant de t'y lancer.

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