Statistiques - Démonstration : Variance et étendue

[upium666]

Bonjour !
On me demande de démontrer que la variance d'une série statistique quelconque est inférieure ou égale au carré de l'étendue :



J'ai réussi à démontrer mais je voudrais voir comment vous vous y prenez : je veux connaître les autres issues possibles pour parvenir à ce résultat

[chan79]

Bonjour !
On me demande de démontrer que la variance d'une série statistique quelconque est inférieure ou égale au carré de l'étendue :



J'ai réussi à démontrer mais je voudrais voir comment vous vous y prenez : je veux connaître les autres issues possibles pour parvenir à ce résultat

si m est la moyenne, chaque (xi-m)² est inférieur à e²
On factorise e²
donc V<=

[upium666]

D'où tires-tu "chaque (xi-m)² est inférieur à e²" ?
C'est vrai, mais il faut le démontrer

[beagle]

Bah, si l'écart-type était plus grand que l'étendue, alors l'étendue serait l'écart-type.

L'écart-type étant plus petit que l'étendue, la variance est plus petite que le carré de l'étendue.

[chan79]

D'où tires-tu "chaque (xi-m)² est inférieur à e²" ?
C'est vrai, mais il faut le démontrer

chaque |xi-m| est inférieur à e puisque m est ma moyenne des xi ( m est compris entre la plus grande valeur et la plus petite valeur des xi)

[upium666]

Bah, si l'écart-type était plus grand que l'étendue, alors l'étendue serait l'écart-type.

L'écart-type étant plus petit que l'étendue, la variance est plus petite que le carré de l'étendue.

C'est pas très démonstratif tout ça :/
Tu commences par supposer "si" , c'est pas ce que j'attendais :p
Bon je publie ma démonstration ?

[Sylviel]

Oui publie ta démonstration...

Au passage le méthode de Beagle est parfaitement valable : il s'agit de démonstration par l'absurde.

[upium666]

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\\$%20x_{1}%20$%20\leq%20$%20x_{i}%20$%20\leq%20$%20x_{n}%20$%20\\%20$%20x_{1}%20$%20\leq%20\bar{x}%20\leq%20$%20x_{n}%20$%20\\%20-$%20x_{n}%20$%20\leq%20-\bar{x}%20\leq%20-$%20x_{1}%20$%20\\%20Par%20somme%20:%20\\%20$%20x_{1}%20$%20-%20$%20x_{n}%20$\leq%20$%20x_{i}%20$%20-%20\bar{x}%20\leq%20$%20x_{n}%20$%20-%20$%20x_{1}%20$\\%20-e%20\leq%20$%20x_{i}%20$%20-%20\bar{x}%20\leq%20e\\%200%20\leq%20($%20x_{i}%20$%20-%20\bar{x})^2%20\leq%20e^2\\%20alors%20:%20\\%20($%20x_{1}%20$%20-%20\bar{x})^2%20\leq%20e^2\\%20($%20x_{2}%20$%20-%20\bar{x})^2%20\leq%20e^2\\%20($%20x_{3}%20$%20-%20\bar{x})^2%20\leq%20e^2\\%20...\\%20($%20x_{n}%20$%20-%20\bar{x})^2%20\leq%20e^2\\%20Par%20somme%20:\\`%20\sum_{i=1}^{n}%20($%20x_{i}%20$%20-%20\bar{x})^2%20\leq%20n.e^2\\%20\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}%20($%20x_{i}%20$%20-%20\bar{x})^2%20\leq%20e^2\\%20Var(x)%20\leq%20e^2[/img]

[Iroh]

Salut, juste une remarque: tout en-dessous du site http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php t'as un champ où tu peux sélectionner «phpBB» dans la liste déroulante. Tu peux alors copier le texte et le mettre ici tel quel, c'est plus simple.

[upium666]

Merci pour l'astuce (^_^)

[upium666]

[upium666]

[chan79]

Ca correspond à ce que j'avais mis mais tu as beaucoup plus détaillé, c'est bien