Dm Spécialité Maths

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 15:49

Bonjour à tous,

Je souhaiterais avoir un peu d'aide sur cet exercice :

Soit la fonction f définie sur ]0;+infini[ par f(x) = 1/x(x+1)

1- Montrer qu'il existe deux rérls a et b tels que f(x)= a/x + b/x+1

2- On considere que la suite Un=f(n)
a) établir le tableau de variation de f sur l'intervalle et en déduire le sens de variation de la suite Un ainsi que sa limite.

Pour le 2a) j'ai trouvé f '(x)= 1 / x²(x+1)² mais je n'en suis pas du tout sure et je ne sais pas comment faire le tableau de variation avec cette dérivé.

Pouvez m'aider svp ?
Merci d'avance.

par **delphine85** » 23 Fév 2010, 15:51

Déjà petite précision, est ce que c'est:
f(x)=1/[x(x+1)]
ou
f(x)=(1/x)*(x+1)

as-tu réussi la première question?

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 15:54

C'est bien f(x) = 1 / [x(x+1)]

& non je n'ai pas réussi la premiere question.

par **delphine85** » 23 Fév 2010, 15:56

ok, tu vas voir que si tu as la réponse à la 1, la 2 sera beaucoup plus facile :id:

donc si tu arrives pas à passer de :
f(x) = 1 / [x(x+1)] à f(x)= a/x + b/x+1

alors essaye l'inverse c'est à dire, que tu pars de f(x)= a/x + b/x+1
tu mets sur le meme dénominateur, et après il te suffira d'identifier a et b

c'est bon?

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 16:01

Je n'arrive pas a mettre au meme dénominateur, et c'est le + qui me perturbe ...

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 16:03

Ah j'ai trouvé (ax+1)+(bx)/ (x²+x)

par **delphine85** » 23 Fév 2010, 16:05

oui!

au dénominateur garde x(x+1)

donc tu as:
[a(x+1)+(bx)]/ [x(x+1)] qui doit etre égale à 1 / [x(x+1)]

ce qui revient à chercher :

a(x+1)+(bx) = 1

donc???

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 16:09

donc (ax+1)+bx-1 = 0 ....

par **delphine85** » 23 Fév 2010, 16:14

Petite erreur c'est pas (ax+1)+(bx) mais a(x+1)+(bx)

non, je me suis peut etre mal exprimé!

le nominateur de gauche est a(x+1)+(bx)= x(a+b)+a
le nominateur de droite est 1
et toi tu veux que ce soit égal

tu vois qu'à droite il n'y a pas de x, ça veut dire qu'à gauche tu dois avoir un facteur 0 qui t'annules tes x. donc (a+b)=0 et a=???

pfff je suis pas très claire, dis moi ce que tu comprends que j'essaye autrement

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 16:19

Je ne comprend le raisonnement de cela a(x+1)+(bx)= x(a+b)+a
et je ne vois vraiment pas comment faire je suis désolée

par **delphine85** » 23 Fév 2010, 16:25

ok, on va reprendre, je veux bien que tu répondes souvent pour être sur que tu suis ok?

on te demande de trouver a et b tel que f(x)=a/x + b/x+1 (2)

hors toi tu as f(x)= 1/x(x+1) (1)

la première différence que tu vois c'est que si tu pars de (2) et que tu veux tomber sur (1), il va falloir le mettre sur le meme dénominateur

est ce que tu es d'accord?

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 16:28

Oui jusque ici je comprend.

par **delphine85** » 23 Fév 2010, 16:31

donc en mettant sur le meme dénominateur on a :
a/x + b/x+1 = [a(x+1)+bx] / [x(x+1)]
si je développe ça donne
= [ax+a+bx]/[x(x+1)]

si je factorise par x :
= [x(a+b)+a]/[x(x+1)]

c'est bon?

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 16:33

Oui c'est bon :)

par **delphine85** » 23 Fév 2010, 16:42

donc toi tu dois trouver le a et le b tel que
x(a+b)+a se "transforme" en 1.

dans ton f(x)= 1 / [x(x+1)]
au numérateur tu n'as pas de x, c'est comme si tu avais 0*x +1.

donc tu as 0*x+1 que tu dois identifier à (a+b)*x +a

c'est bon jusque là?

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 16:45

Oui je comprend.

par **delphine85** » 23 Fév 2010, 16:46

0*x+1 que tu dois identifier à (a+b)*x +a

donc 1=a
et
0=(a+b)
0=1+b
-1=b

c'est bon?

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 16:51

oui j'ai compris !! :we:

par **delphine85** » 23 Fév 2010, 16:52

et maintenant ça sera plus facile de calculer la dérivée de
f(x)= 1/x -1/(x+1) !

il va falloir se dépécher car je dois partir dans 10min!

donne moi ta dérivée (recalculée car la première était fausse!) et je te dis si c'est bon

par **Piimousse** » 23 Fév 2010, 16:57

Je trouve -2 / (x²)(x+1)²

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