Spécialité Maths / Divisibilité

par **Ant60** » 07 Oct 2009, 16:23

Bonjour ou plutôt bonsoir!

Toutes les semaines, j'ai un D.M à faire en SPE Maths le jeudi. Mais, cette semaine, je bloque sur un exo de divisibilité dont voici l'énoncé :

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120.

Je pense qu'il y a deux solutions :

- soit je regarde ce que ça fait pour tous les restes possibles. Mais là je vais en avoir beaucoup avec 120...

- soit je fais avec de la récurrence, je pense que c'est plus efficace mais je n'arrive pas à la résoudre.

A l'hérédité.

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = ?
Si je développe, j'obtiens plein de carrés et je vois pas trop où ça va m'emmener. Et à part développer, je ne sais pas que faire..

Est-ce quelqu'un pourrait m'aider?

Merci

par **Finrod** » 07 Oct 2009, 16:25

Il y a 5 chiffres consécutifs donc au moins un est congru à zéro modulo 5, idem pour modulo 2,3 et 4.

A partir de là tu peux montrer que 5! divise le produit.

par **nodgim** » 07 Oct 2009, 16:25

Un indice, et là ça va aller tout seul: dans 2 nombres consécutifs, il y a toujours 1 pair, donc le produit est divisible par 2.....

par **Sve@r** » 07 Oct 2009, 16:28

2 choses à voir
1) il y a 5 opérandes
2) 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Or, 5 * 24 = 120

par **Ant60** » 07 Oct 2009, 16:31

Merci à tous pour vos réponses!

Une question très bête mais dont je ne suis pas sûr : un nombre pair est il toujours divisible par un nombre pair? Je pense que OUI mais bon^^

Merci

par **Ant60** » 07 Oct 2009, 16:37

Voilà ce que j'ai fait d'après la méthode de nodgim que je remercie.

n(n+1) =(congru) 0 (mod 120)
(n+2)(n+3) =(congru) 0 (mod 120)
Car le produit de deux nombres consécutifs est toujours pair et 120 est pair.

DONC n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) =(congru) 0 (mod 120)

Est-ce que c'est bon?

par **Ant60** » 07 Oct 2009, 16:45

J'ai l'impression que c'est un peu court quand même? :hein:

par **Ant60** » 07 Oct 2009, 16:59

Ah :hein:
Et par récurrence est ce que c'est possible?.?

par **Ant60** » 07 Oct 2009, 17:06

Rien dit, j'ai pas vu le mess précédent.

par **Ant60** » 07 Oct 2009, 17:12

Angélique_64 a écrit:Ca ne me parait pas une méthode adaptée. Le raisonnement précédent est correct si on le modifie un peu.

Il suffit de montrer que n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est à la fois divisible par 8, 3 et 5

Ce que je ne comprends pas, c'est que je ne vois pas comment je pourrai montrer que des nombres n sont divisibles par 8 ou par 5 par exemple.

Avec des 8, des 8^n, 8^2n, etc.. j'arrive à dire s'ils sont divisibles par un tel ou pas.

Mais là je crois qu'il y a vraiment quelque chose qui m'échappe. :hein:

Désolé pour toutes mes questions et merci d'avance.

par **beagle** » 07 Oct 2009, 17:31

C'est curieux de ne pas prendre
12345
23456
et de regarder à quoi on joue:

pour 8, on aura A LA FOIS, dans la série un 2n et un 2n+2,
donc un 2n et un 2(n+1),
donc?

Pour 5, tu essayes de trouver une série sans 5,
je commence 22,23,24, zut 25
139,140,141,142,143, ah enfin j'ai une série sans 5,donc ça ne marche pas?
Pour rire :we:

Curieux dans un tel exo de partir directos dans l'abstraction des n,...

par **beagle** » 07 Oct 2009, 17:59

j'ai comme un crétin repris n, il faut le remplacer par k,
dans la série soit n, soit n+1 est 2k, et 2k+2 est dans la série.

par **Ant60** » 07 Oct 2009, 18:05

Bon.

J'essaye avec n=1 ça me donne
(1)(2)(3)(4)(5)(6) divisible par 120?
1 est divisible par 120, 2 l'est, 3 l'est, 4 l'est, 5 l'est et 6 l'est.
Mais Angélique_64 a dit que (1)(2)(3)(4)(5)(6) n'était pas divisible par 120 même si tous les nombres le sont.

Donc comment faire? :triste:

par **Ant60** » 07 Oct 2009, 18:17

Oui mais comment, je n'y arrive pas!

Spécialité Maths / Divisibilité

Spécialité Maths / Divisibilité

Qui est en ligne