Spécialité maths T°S - congruences mon amour

[Makkai]

Voilà voilà, je suis en train de réviser mon contrôle de spé maths et en refaisant des exos, je bloque sur quelques-uns... mais le plus énervant reste celui-là :

Quelles sont les solutions dans Z du système

a=1+3b
a=2+7c

où a, b et c sont trois entiers relatifs?
Donner les valeurs de a dans l'intervalle [-50 ; +50]

La spé, c'est marrant... des fois =_=....

[rene38]

BONJOUR ?

a = 2 + 7c = (multiple de 7) + 2 : il n'y en a pas tant que ça dans [-50; 50]

et ils doivent vérifier en plus

a = 1 + 3b = (multiple de 3) + 1

et je trouve qu'il en reste 5.

[Zebulon]

Bonsoir,
voici la méthode générale :
soit le système de congruences

avec a un entier et des entiers premiers entre eux,
on pose et pour tout . Alors les sont premiers entre eux donc il existe des entiers tels que (c'est le théorème de Bezout).
Alors est une solution et l'ensemble solution du système est .
Ici, donnez . Je vous aiderai pour la suite si vous n'y arrivez pas.

[Zebulon]

et je trouve qu'il en reste 5.

Je n'en trouve que 4. :hein:

[Makkai]

Désolée pour avoir oublié de dire bonsoir ^^; j'ai pas l'habitude. J'ai dû me planter quelque part parce que je trouve qu'un seul résultat avec la méthode de rene38 Oo;... Zebulon, je n'ai jamais vu ce genre de méthode, t'es sûr(e) que c'est niveau début de T°S? :we:

[Rower]

tu n'as pas du apprendre avec le signe pi
mais c'est bien du niveau de terminale (à moins qu'il aient remanié les programmes)

[Zebulon]

Zebulon, je n'ai jamais vu ce genre de méthode, t'es sûr(e) que c'est niveau début de T°S? :we:

Non, j'ai vu ça en première année (c'est juste un an après la TS ! :we: ) mais au moins c'est une méthode systématique pour résoudre ces problèmes (dits "des restes chinois" !), ça marche à tous les coups. En plus, ici, c'est très rapide car il n'y a que deux équations.
Avec les notations, on a :
, ,
, et 3 et 7 sont bien premiers entre eux,
,
, .
On écrit l'identité de Bezout pour et (qui sont bien premiers entre eux) : , c'est-à-dire, toujours avec les notations du précédent post, et ,
alors est une solution et l'ensemble des solutions est .
On ne demande que les solutions comprises (largement) entre -50 et 50, il n'y a qu'à essayer pour des petites valeurs de p et on s'arrête dès qu'on dépasse -50 pour les négatifs et 50 pour les positifs.
Ce sont les notations qui compliquent tout, mais en fait, c'est très simple !
Pour information, j'obtiens . En fait, je ne sais même pas résoudre ces problèmes autrement et j'utilise toujours cette méthode marteau pillon! :marteau:

[rene38]

En reprenant mon raisonnement de 19h43 :
a = 2 + 7c = (multiple de 7) + 2
Il n'y en a pas tant que ça dans [-50; 50], savoir
-47, -40, -33, -26, -19, -12, -5, 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44.

et ils doivent vérifier en plus a = 1 + 3b = (multiple de 3) + 1 ; il reste donc
-47, -26, -5, 16, 37.

[Zebulon]

Eh oui, j'ai oublié -5... :briques:

[rene38]

Eh oui, j'ai oublié -5... :briques:

Non, non : tu ne l'as pas oublié, il t'a glissé entre les doigts :

est une solution

[Zebulon]

Je l'ai oublié dans S :

Votre solution est certainement celle qui était demandée.

[BancH]

On cherche d'abord les solutions positives.



Le plus petit entier positif dont le triple est congru à modulo est .

est donc le plus petit triplet de solutions positif.

et étant premiers entre eux, les autres solutions sont de la forme

On cherche maintenant les solutions négatives.



Le plus grand entier négatif qui multiplié par est congru à modulo est

Le plus grand triplet solution négatif est donc

Et tout triplet de la forme est solution.






ou