Spécialité Math- chiffrement affine

[PierreD50]

Bonjour a tous,
J ai un devoir de maison de spécialité math à faire et un exercice porte sur le chiffrement affine et je vous avoue calez completement ! Voici le sujet :

On rappelle le principe du chiffrement affine :
- On numérote les 26 lettres de l'alphabet de 0 à 25
- On calcule les images de ces 26 entiers par une fonction affine f qui a tout x associe : ax+b avec a et b entiers naturels et a different de 0
- On prend les restes des images dans la division euclidienne par 26
-On remplace les lettres par celles qui correspondent aux numeros données par les restes

Le couple (a;b) est la clé secréte du codage

Dans les questions du sujet j'écrirai les congruences comme cela ( ne sachant pas faire les 3 barres ) : "=:"

1) Pourquoi peut-on se contenter de choisir a et b inferieur ou égaux a 25 ?

2) On considere qu'une clé est satisfaisante, lorsque le chiffrement affine associé à cette clé code deux lettres distinctes de l'alphabet par deux lettres disctinctes de l'alphabet.
Autrement dit, une clé (a;b) est satisfaisante si et seulement si pour tout couple (x;y) d'entiers appartenant à l'ensemble {0;1;2;....;25} ax+b=:ay+b(modulo 26) implique x=y

Démontrer, en utilisant le théorème de Gauss que si a et 26 sont premiers entre eux, alors la clé (a;b) est satisfaisante

3)Dans cette question on considère une clé (a;b) telle que a et 26 sont premiers entre eux
a) Démontrer qu'il existe un entier relatif u tel que au=:1(modulo 26) ( On pourra utiliser le theoreme de Bezout)

b) Montrer que si y=: ax+b ( modulo 26), alors x=: uy_bu ( modulo 26)
En déduire une fonction affine permettant de lire un message codé par le chiffrement affine dont la clé est (11;8)

4) Déterminer une fonction de déchiffrement associé au chiffrement affine dont la clé est (11;8)
Puis décoder le message " IFA EAYIN" qui a été codé en utilisant le chiffrement affine dont la clé est (11,8)

Fin
Voila, j'ai conscience que sa fait beaucoup mais j'ai beau essayer tout plein de truc sa n'aboutit a rien! J ai vraiment du mal en spé qui n'a rien a voir avec les maths normal.
Merci pour vos réponses

[PierreD50]

J ai vraiment besoin d'aide s'il vous plait.
Merci

[raph107]

Bonjour a tous,
J ai un devoir de maison de spécialité math à faire et un exercice porte sur le chiffrement affine et je vous avoue calez completement ! Voici le sujet :

On rappelle le principe du chiffrement affine :
- On numérote les 26 lettres de l'alphabet de 0 à 25
- On calcule les images de ces 26 entiers par une fonction affine f qui a tout x associe : ax+b avec a et b entiers naturels et a different de 0
- On prend les restes des images dans la division euclidienne par 26
-On remplace les lettres par celles qui correspondent aux numeros données par les restes

Le couple (a;b) est la clé secréte du codage

Dans les questions du sujet j'écrirai les congruences comme cela ( ne sachant pas faire les 3 barres ) : "=:"

1) Pourquoi peut-on se contenter de choisir a et b inferieur ou égaux a 25 ?

2) On considere qu'une clé est satisfaisante, lorsque le chiffrement affine associé à cette clé code deux lettres distinctes de l'alphabet par deux lettres disctinctes de l'alphabet.
Autrement dit, une clé (a;b) est satisfaisante si et seulement si pour tout couple (x;y) d'entiers appartenant à l'ensemble {0;1;2;....;25} ax+b=:ay+b(modulo 26) implique x=y

Démontrer, en utilisant le théorème de Gauss que si a et 26 sont premiers entre eux, alors la clé (a;b) est satisfaisante

3)Dans cette question on considère une clé (a;b) telle que a et 26 sont premiers entre eux
a) Démontrer qu'il existe un entier relatif u tel que au=:1(modulo 26) ( On pourra utiliser le theoreme de Bezout)

b) Montrer que si y=: ax+b ( modulo 26), alors x=: uy_bu ( modulo 26)
En déduire une fonction affine permettant de lire un message codé par le chiffrement affine dont la clé est (11;8)

4) Déterminer une fonction de déchiffrement associé au chiffrement affine dont la clé est (11;8)
Puis décoder le message " IFA EAYIN" qui a été codé en utilisant le chiffrement affine dont la clé est (11,8)

Fin
Voila, j'ai conscience que sa fait beaucoup mais j'ai beau essayer tout plein de truc sa n'aboutit a rien! J ai vraiment du mal en spé qui n'a rien a voir avec les maths normal.
Merci pour vos réponses

Bonsoir,

La prochaine fois, pour avoir une aide pour un devoir entier, il vaut mieux nous dire ce que tu as fait et où tu bloques.

Je te donne une solution pour la première question afin que tu puisses passer aux suivantes:

On utilise la divsion euclidienne:
Il existe p et a', entiers naturels tels que a = 26p + a' avec 0<= a' <= 25
Il existe q et b', entiers naturels tels que b = 26q + b' avec 0<= b' <= 25

f(x) = ax + b = (26p + a')x + 26q + b' = a'x + b' + 26x(p+q)
Si on pose g(x) ) = a'x + b', on a g(x) est congru à f(x) modulo 26 puisque leur différence est un multiple de 26.
Donc on peut tujours choisir a et b inférieurs ou égaux à 25.

[PierreD50]

Bonsoir,

La prochaine fois, pour avoir une aide pour un devoir entier, il vaut mieux nous dire ce que tu as fait et où tu bloques.

Je te donne une solution pour la première question afin que tu puisses passer aux suivantes:

On utilise la divsion euclidienne:
Il existe p et a', entiers naturels tels que a = 26p + a' avec 0<= a' <= 25
Il existe q et b', entiers naturels tels que b = 26q + b' avec 0<= b' <= 25

f(x) = ax + b = (26p + a')x + 26q + b' = a'x + b' + 26x(p+q)
Si on pose g(x) ) = a'x + b', on a g(x) est congru à f(x) modulo 26 puisque leur différence est un multiple de 26.
Donc on peut tujours choisir a et b inférieurs ou égaux à 25.

Oui je suis desolé d'avoir mis le sujet de tout l'exercice mais étant donner que les questions sont indépendantes et que je n'arrivais à aucune je ne savais pas par ou commencer.

Pour ce qui est de la réponse 1), je ne comprend pas en quoi le fait de prouver que g(x) est congru à f(x) modulo 26 nous premet d'affirmer qu'on peut choisir a et b inferieur a 26.

Pourriez vous m'expliquez s'il vous plait ?

Pour ce qui est de la question 2 j'ai finalement trouver la solution et je réflechis actuellement a la 3)a).
Merci pour ta réponse en tout cas, en attendant d'éventuelle explication pour que je puisse comprendre =)

[raph107]

Oui je suis desolé d'avoir mis le sujet de tout l'exercice mais étant donner que les questions sont indépendantes et que je n'arrivais à aucune je ne savais pas par ou commencer.

Pour ce qui est de la réponse 1), je ne comprend pas en quoi le fait de prouver que g(x) est congru à f(x) modulo 26 nous premet d'affirmer qu'on peut choisir a et b inferieur a 26.

Pourriez vous m'expliquez s'il vous plait ?

Pour ce qui est de la question 2 j'ai finalement trouver la solution et je réflechis actuellement a la 3)a).
Merci pour ta réponse en tout cas, en attendant d'éventuelle explication pour que je puisse comprendre =)

On est parti d'une fonction f avec a et b quelconques et on a trouvé une fonction g avec des coefficients a' et b' compris entre 0 et 25. Comme f(x) est congru à g(x) modulo 26, les 2 fonctions donnent le même codage, donc au lieu de prendre f on prendra g.

[PierreD50]

On est parti d'une fonction f avec a et b quelconques et on a trouvé une fonction g avec des coefficients a' et b' compris entre 0 et 25. Comme f(x) est congru à g(x) modulo 26, les 2 fonctions donnent le même codage, donc au lieu de prendre f on prendra g.

D'accord c'est plus clair , je te remercie =)

[marie.m]

Oui je suis desolé d'avoir mis le sujet de tout l'exercice mais étant donner que les questions sont indépendantes et que je n'arrivais à aucune je ne savais pas par ou commencer.

Pour ce qui est de la réponse 1), je ne comprend pas en quoi le fait de prouver que g(x) est congru à f(x) modulo 26 nous premet d'affirmer qu'on peut choisir a et b inferieur a 26.

Pourriez vous m'expliquez s'il vous plait ?

Pour ce qui est de la question 2 j'ai finalement trouver la solution et je réflechis actuellement a la 3)a).
Merci pour ta réponse en tout cas, en attendant d'éventuelle explication pour que je puisse comprendre =)

Bonjour, j'ai le même Dm à rendre pour pas longtemps et je n'arrive pas à la question 2. Pourrais-tu m'aider stp ?