Spé

[mimic1102]

Pouvez-vous m'aider à ce sujet ?
En étudiant les congruences modulo 5, démontrer que si les entiers x,y et z sont tels que x²+y²=z², alors l'un au moins est divisible par 5.

[bolza]

Bonjour,

essaie de faire la liste des carrés modulo 5 ...

[titine]

Modulo 5 x est congru sot à 0, soit à 1, soit à 2, soit à 3, soit à 4.
Si x est congru à 0 alors x² est congru à 0.
Si x est congru à 1 alors x² est congru à 1.
Si x est congru à 2 alors x² est congru à 4.
Si x est congru à 3 alors x² est congru à 4.
Si x est congru à 4 alors x² est congru a 1.
Tu fais une table d'addition avec x² congru à 0, 1 ou 4 et y² congru à 0, 1 ou 4 et tu trouves les congruences de x²+y².
Si x²+y²= z² alors x²+y² est congru soit à 0, soit à 1, soit à 4.
Étudie chacun des cas qui conviennent et tu verras que dans tous les cas un des nombres x, y ou z est congru à 0, c'est à dire divisible par 5.

Je ne sais pas si je suis très clair ?

[mimic1102]

désolé mais pas vraiment car ça me parle pas je comprend rien sur la congruence

[bolza]

Tu n'a pas eu un cours sur les congruences ?

Si a est congru à b modulo n, ça signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Par exemple : 11 est congru à 6 modulo 5 car:
-le reste de la division euclidienne de 11 par 5 est 1 (11 = 5*2 + 1)
-le reste de la division euclidienne de 6 par 5 est aussi 1 (6=5*1+1)

Si tu connais un peu la division euclidienne, tu sais que quand tu fait une division euclidienne
d'un entier n par 5 tu n'a que 4 reste possible : 0,1,2,3 ou 4.

0 : si le reste est 0 ça veut dire que n est divisible par 5, car la division tombe juste.
tu peux dire que n est de la forme 5k (avec k entier(c'est le quotient)). ou encore n est congru à 0 modulo 5
1: si le reste est 1 ça veut dire que n est de la forme 5k+1, tu peux dire que n est congru à 1 modulo 5.
2: si le reste est 2 ça veut dire que n est de la forme 5k+2, tu peux dire que n est congru à 2 modulo 5.
3: si le reste est 3 ça veut dire que n est de la forme 5k+3, tu peux dire que n est congru à 3 modulo 5.
4: si le reste est 4 ça veut dire que n est de la forme 5k+4, tu peux dire que n est congru à 4 modulo 5.


Un entier n quelconque fait forcément parie d'un de ces quatre cas.

Ensuite tu peux voir facilement que si n est congru à b modulo 5 alors n² est congru à b² modulo 5.
De là tu peux trouver tous les restes possibles de la division euclidienne d'un carré parfait par 5.
(c'est ce qu'a fait titine)

Tous ça t'éclaire un peu ? (ou ça t'embrouille plus qu'autre chose ? ^^')

[mimic1102]

non on a jamais de cours...
Si x est congru à 0 alors x² est congru à 0.
Si x est congru à 1 alors x² est congru à 1.
Si x est congru à 2 alors x² est congru à 4.
Si x est congru à 3 alors x² est congru à 4.
Si x est congru à 4 alors x² est congru a 1.
je comprend pas 3 congru à 4 mais si c'est au carré ça devient 9 ?

[mimic1102]

non en faite j'ai compris c'est 5*1+4 voilà pk le 4 en revanche une fois qu'on a ça la table d'addition je vois pas

[bolza]

à quoi ressemble ta "table d'addition" ?

[titine]

On a vu que x² (donc aussi y²) est congru soit à 0, soit à 1, soit à 4, modulo 5.
Étudions pour tous les cas possibles la congruence de x²+y².
Tu construis un tableau à double entrée. En colonne x² qui est congru à 0 ou 1 ou 4. En ligne y² qui est congru à 0 ou 1 ou 4.
Et dans chaque case tu inscrits la congruence de la somme.
Si x² congru à 0 et y² à 0 alors x²+y² congru à 0.
Si x² congru à 0 et y² à 1 alors x²+y² congru à 1.
........
Si x² congru à 1 et y² à 4 alors x²+y² est congru à 5, c'est à dire à 0
.........

[mimic1102]

x²\y² 0 1 4 4 1

0 0 1 4 4 1
1 1 2 5 5 2
4 4 5 8 8 5
4 4 5 8 8 5
1 1 2 5 5 2

C'est ça ?

[bolza]

Presque :

Les valeurs possibles sont 0,1 et 4 donc tes deux dernières lignes et tes deux dernières colonnes sont inutiles.
Et comme 0 est congru à 5 modulo 5, tu peux remplacer tes 5 par des 0 (c'est comme tu veux, ce n'est pas une obligation) et tu obtiens :

Code: Tout sélectionner

x\y 0 1 4
0   0 1 4
1   1 2 0
4   4 0 8


à partir de cette table d'addition, tu vois comment conclure ?

[mimic1102]

non

[bolza]

là encore tu dois faire une étude de cas :

Pour x² modulo 5 tu as 3 cas 0,1 ou 4
Pour y² modulo 5 tu as 3 cas 0,1 ou 4

Pour chaque cas on étudie x²+y² (tous ça est résumé dans la table d'addition).
ensuite il faut noté que pour z² aussi on a que trois choix modulo 5: 0,1, ou 4

donc par exemple :
Peut-on avoir x² congru à 1 modulo 5 et y² congru à 1 modulo 5 ?

Il ne faut pas perdre de vue que la question est de prouver que si x²+y²=z² alors au moins un des trois nombres
x, y ou z est un multiple de 5.

En terme de modulo tu vois comment traduire "un des trois nombre x, y, ou z est un multiple de 5 ?

[titine]

Presque :

Les valeurs possibles sont 0,1 et 4 donc tes deux dernières lignes et tes deux dernières colonnes sont inutiles.
Et comme 0 est congru à 5 modulo 5, tu peux remplacer tes 5 par des 0 (c'est comme tu veux, ce n'est pas une obligation) et tu obtiens :

Code: Tout sélectionner

x\y 0 1 4
0   0 1 4
1   1 2 0
4   4 0 8


Congru à 8 = congru à 3 car 8=1*5+3

Si x²+y²=z² alors x²+y² est congru soit à 0, soit à 1, soit à 4.
Ce qui élimine donc x² et y² congrus à 1 et x² et y² congrus à 4.
Tu comprends ?
x²\y² 0 1 4
0 0 1 4
1 1 2 0
4 4 0 3

Maintenant regarde ce qui se passe dans chaque cas possible.
Pour ce qui est de la 1ère ligne on est dans le cas où x² congru à 0 donc x² multiple de 5, donc x multiple de 5.
Pour le 1er de la 2ème ligne y² congru à 0 donc ........................
Pour le 2ème de la 2ème ligne on a dit que c'était impossible.
Pour le 3ème de la 2ème ligne z² est congru à 0 donc .....................
.........................

[mimic1102]

j'ai pas compris à partir de "Ce qui élimine donc x² et y² congrus à 1 et x² et y² congrus à 4.

[titine]

Regarde mon tableau . Il faut éliminer les cases rouges car il faut obligatoirement que le résultat soit congru à 0, ou 1 ou 4.

[mimic1102]

oui c'est bon j'ai compris mais du coup on peut conclure juste avec ça ? qu'il y a juste pas x²+y²=2 pour 1 et x²+y²=3 pour 4 ?

[bolza]

dans les case du tableau tu peux lire x²+y² modulo 5, c'est-à-dire z² modulo 5.
Tu sais que z² est soit 0,1,4, donc ça te dit que les case qui contiennent 2 et 3 correspondent
à des cas impossibles.

Et dans les autres cases (autres que ceux de la première et deuxième colonne) qu'y a-t-il pour les valeurs de z² ?
qu'en conclues-tu ?

[mimic1102]

bas dans les autres il y a 0/1/4 mais je vois pas à quoi ça nous sert pour savoir si l'un au moins est divisible par 5.

[bolza]

Là encore pose les chose dans l'ordre :

Cas 1 : x² congru à 0 modulo 5 donc x multiple de 5: ça répond à l'énoncé. cas résolu.
----> x² congru à 0 modulo 5 correspond à la première ligne du tableau.

Cas 2 : y² congru à 0 modulo 5 donc y multiple de 5 : cas résolu.
----> y² congru à 0 modulo 5 correspond à la première colonne du tableau.

Maintenant on se place dans le cas où ni x² ni y² sont congru à 0 modulo 5.
----> donc on s'intéresse aux cases du tableaux qui ne sont pas sur la première ligne, ni sur
la première colonne. Il reste donc 4 cases. Parmi ces 4 cases, on en a éliminer 2 car elles correspondent à
un cas impossible. Reste deux case et qu'a-t-on comme valeur dans ces deux cases restantes ?
qu'en conclues-tu ?