TS spé : TD sur l'équation de Pythagore

[Green litchi]

Bonsoir, alors je bloque à partir de la question 1) c) de cet exercice, mais j'vais le mettre en entier pour un peu plus de clarté :

L'intro : L'équation de Pythagore x²+y² = z² est un exemple d'équation diophantienne. Le but est de trouver les entiers naturels strictement positifs x, y, z, tels que x²+y² = z².
Géométriquement, celà revient à trouver des triangles rectangles dont les cotés sont des nombres entiers.


On a x²+y² = z²

Pour répondre, on suppose que x, y, z est une solution.
(x, y et z entiers naturels strictement positifs)

1) On suppose que x est pair, y impair, z impair, et de plus que x et y sont premiers entre eux.

a) Prouvez que x et z sont premiers entre eux, ainsi que y et z.

b) On pose x = 2q. Vérifiez que :

q² = ((z-y)/2)((z+y)/2)

et que les nombres (z-y)/2 et (z+y)/2 sont des naturels strictement positifs.

c) Prouvez que (z-y)/2 et (z+y)/2 sont premiers entre eux.

d) Déduisez-en qu'il existe des entiers u et v tels que 0 < u < v et :

(z-y)/2 = u² et (z+y)/2 = v².

e) Déduisez-en que x = 2uv ; y = v²-u² et z = u²+v²

2) On suppose que (x, y, z) est une solution, mais on ne suppose plus que x et y sont premiers entre eux.
On note g le PGCD de x et de y.

a) Prouvez que g² divise z², puis que g divise z en utilisant les décompositions canoniques de z, g, z², g².

b) On pose alors x = x'g, y = y'g, z = z'g.
Vérifiez que (x', y', z') est une solution.

c) Supposez que x' et y' sont tous deux impairs.
Déduisez-en que z'² est de la forme 4m+2 avec m entier.
Prouvez qu'un carré ne peut pas être de cette forme. Ainsi, on peut supposer x' pair, y' impair et z' est donc impair

On est donc ramené au cas de la question 1) de ce paragraphe, et donc, on connaît toutes les solutions entières de x²+y² = z².


Voilà, je ne vous demande pas forcément de me faire l'exercice, ça pourraît être long, mais si vous pouviez simplement me donner des pistes, me mettre sur la voie, ça m'aiderait déjà beaucoup. Merci d'avance!

[_-Gaara-_]

Salut, lol c'est clair que c'est long mais bon.. tu bloques où? tu as fais quoi ?

[Green litchi]

Lis la première ligne du post ^^"

[_-Gaara-_]

lol désolé j'avais pas mes lunettes çà ne compte pas =_=

humm donc je suppose que tu bloques aussi pour la C

euuuuuh là comme çà je ne vois pas trop xD

[Green litchi]

Merci quand même xD
Bon, je vais m'y remettre, n'oubliez pas que toute aide est la bienvenue heing.