Spé maths terminale S Nombres de Mersenne

[thani]

Bonjour ou bonsoir
On considère les nombres de la forme 2^n -1; n un entier naturel et n supérieur ou égal à 2, ces nombres sont appelés nombres de Mersenne lorsque n est premier

1° n est un entier composé n= pq p>1 q>1
x étant un réel quelconque et s entier naturel, on a x^s -1 =(x-1)(x^(s-1) + x^(s-2) + ... + x^2 +x +1)
a) Montrer que 2^n -1 est divisible par 2^p -1
b)Etablir que 2^n -1 premier implique n premier (raisonnement par contraposée)
c)La réciproque est-elle vraie?

2° Soit n et m deux entiers naturels tels que n= mp +r 0<r<met m<n
a) En utilisant une méthode semblable à celle utilisée dans la 1° établir que :
2^n -1 congru à 2^r-1 mod 2^m -1
b) Montrer que si d divise 2^n -1 et 2^m -1 alors il divise 2^r-1 et 2^m -1

Merci de bien vouloir m'aider